如何利用導數證明不等式

證明不等式是學生的弱點與難點，也是高考的熱點.本文就以利用導數證明不等式為例，談一些具體做法，僅供參考.

一、用函數的單調性證明不等式

例1 已知函數f(x)=lnx，g(x)=x.

（1）若x>1，求證：f(x)>2gx-1x+1.

（2）是否存在實數K，使方程12g(x2)-f(1+x2)=K有四個不同的實根？若存在，求出K的取值范圍；若不存在，說明理由.

（1）證明 令F(x)=f(x)-2gx-1x+1=lnx-2(x-1)x+1，

則F′(x)=1x-2(x+1)-2(x-1)(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2.

由x>1，得F′(x)>0，知F(x)在(1，+∞)上為增函數.

又F（x）在x=1處連續且F(x)在（1，+∞）上為增函數，而x>1，得F（x）>F(1)=0，即f(x)>2gx-1x+1.

（2）略.

例2 已知函數f(x)=x-sinx，數列{an}滿足0

證明：（1）0

（2）an+1<16a3n.

證明 （1）先用數學歸納法證明0

（2）設函數g(x)=sinx-x+16x3，0

由（1）知，當0

從而g′(x)=cosx-1+x22

=-2sin2x2+x22>-2x22+x22=0，

∴g(x)在（0，1）上是增函數.

又 g(x)在（0，1）上連續且g(0)=0，

∴當0g(0)=0成立，于是g(an)>0.

即sinan-an+16a3n>0，故an+1<16a3n.

注 用函數的單調性證明不等式的一般思路：（1）構造函數f(x)；（2）利用導數確定f(x)在某一區間的單調性；（3）依據該區間的單調性證不等式.

二、用函數的最值證明不等式

例3 已知函數f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函數f(x)的單調遞減區間.

(2)若x>-1，求證：1-1x+1≤ln(x+1)≤x.

（1）略.

(2)證明 ∵x∈(-1，0)時，f′(x)>0，x∈(0，+∞)時，f′(x)<0，

∴當x=0時，f(x)有極大值f(0)=0，

即f(x)≤f(0)，ln(x+1)-x≤0，∴ln(x+1)≤x.

令g(x)=ln(x+1)+1x+1-1，

則g′(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2.

當x∈(-1，0)時，g′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，g′(x)>0.

∴當x=0時，g(x)有極小值g(0)=0，即g(x)≥g(0).

即ln(x+1)+1x+1≥0，∴ln(x+1)≥1-1x+1.

綜上可知，當x>-1時，有1-1x+1≤ln(x+1)≤x.

例4 已知函數f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.

(1)求函數f(x)的最大值.

(2)設0

（1）略.

（2） 證明 ∵g(x)=xlnx，∴g′(x)=lnx+1.

設F(x)=g(a)+g(x)-2ga+x2，

則F′(x)=g′(x)-2ga+x2′=lnx-lna+x2.

當0a時，F′(x)>0.

∴F（x）在(0，a)內為減函數，在(a，+∞)上為增函數.

從而當x=a時，F(x)有極小值F(a)=0.

∵b>a，∴F(b)>F(a)，

即0

設G(x)=F(x)-(x-a)ln2，

則G(x)=lnx-lna+x2-ln2=lnx-ln(a+x).

當x>0時，G′(x)<0，因此G(x)在(0，+∞)上為減函數.

∵G(a)=0，b>a，∴G(b)

即g(a)+g(b)-2ga+b2<(b-a)ln2.

綜上可知，當0

0

注 用函數的最值證明不等式的一般思路：（1）構造函數f(x);（2）求f(x)在所給區間的最值;（3）根據函數的最值證不等式.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文