分段函數(shù)淺議

分段函數(shù)是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容之一，而在近幾年的高考題中也常有涉及這方面的問題出現(xiàn)，但學(xué)生對分段函數(shù)的有關(guān)知識掌握得甚少，應(yīng)用得也較差，我在教學(xué)過程中做了一些研究，下面就分段函數(shù)的有關(guān)問題作如下一些膚淺的討論.

一、分段函數(shù)的解析式及定義域

如果一個函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上（個別的區(qū)間也可退縮為一點）分別用不同的解析式表示，則稱之為分段定義的函數(shù)，簡稱為分段函數(shù).

例1 某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠價不能低于51元.

（1）當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？

（2）設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P=f（x）的表達式.

（3）當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本）

解 （1）設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量x0個，

則x0=100+（60-51）÷0.02=550.

（2）當(dāng)0

P=f(x)=60（0

62-x50（100

51（x≥550），(x∈N*).

（3）設(shè)銷售商一次訂購量為x個時，工廠獲得利潤為y元，則y=（P-40）x，

y=20x（0

22x-x250（100

11x（x≥550），(x∈N*)..

當(dāng)x=500時，y=6000，當(dāng)x=1000時，y=11000，因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，廠方獲利6000元，如果訂購1000個，廠方獲利11000元.

分段函數(shù)的定義域是各段表達式定義域的并集.如上面第（2）（3）小題函數(shù)P和y的定義域都是｛x|0

二、分段函數(shù)的圖像

作分段函數(shù)的圖像要在每段函數(shù)所給的定義域分別作出它們的圖像，因此要注意區(qū)間的端點在不在圖像上.

例2 作出函數(shù)f(x)=-x+1（x≤0），log2x（0

圖 1

解 這個函數(shù)的圖像由三部分組成：當(dāng)x≤0時，為射線y=-x+1；當(dāng)0<x<1時，為對數(shù)函數(shù)y=log2x的一部分；當(dāng)x≥1時，為雙曲線y=1x的一部分.如圖1.

三、分段函數(shù)的求值

首先要看清楚所給的函數(shù)值是屬于哪段函數(shù)的定義域內(nèi)的值，再把所給的自變量的值代入該定義域相應(yīng)的函數(shù)的解析式中.

例3 已知：f(x)=x+1（x＞0），π(x=0)，0(x<0)，

則f{f［f(-1)］}=.

解 ∵-1∈(-∞，0)，∴f(-1)=0，∴f［f(-1)］=f(0)=π.又∵π∈(0，+∞)，∴f{f［f(-1)］}=f(π)=π+1.

四、分段函數(shù)的奇偶性

首先看整個函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，從而確定該函數(shù)是否具有奇偶性，再按定義所給函數(shù)在整個定義域區(qū)間內(nèi)是否滿足f（-x）=-f（x）或f（-x）＝f（x）來進行判斷它的奇偶性，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來進行判斷.

例4 已知f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x-x2，求f（x）的解析式.圖 2

解 設(shè)x<0，則-x＞0.

∵f（x）為偶函數(shù)，

∴f（x）=f（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2.

所求解析式為f（x）=2x-x2(x≥0)，-2x-x2(x<0)，其圖像關(guān)于y軸對稱，如圖2.

五、分段函數(shù)的單調(diào)性

分段函數(shù)的單調(diào)性可分段討論，也可作出其圖像進行觀察求解.

例5 已知f(x)=(3a-1)x+4a（x<1），logax（x≥1）是(-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是.

解 ∵f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，∴當(dāng)x≥1時，logax≤f（1），∴0

分段函數(shù)是一種形式特殊而應(yīng)用廣泛的常見函數(shù)，現(xiàn)在教材中是以例題與習(xí)題的形式出現(xiàn)的，要求寫出函數(shù)關(guān)系式、畫出圖像，而對分段函數(shù)的概念及其有關(guān)知識沒有作出系統(tǒng)的介紹，導(dǎo)致同學(xué)們在學(xué)習(xí)中對分段函數(shù)的認識比較膚淺，常常因概念不清、思維片面而產(chǎn)生解題錯誤.為了幫助大家掌握好分段函數(shù)的內(nèi)容，提高求解與分段函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的能力，本文就分段函數(shù)學(xué)習(xí)中值得關(guān)注的幾個問題談一些拙見，僅供大家參考.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文