培養學生的代數思維,提高教學效率

眾所周知，數學活動是思維的活動，數學教學是思維的教學.數學思維又可以大致分為代數思維和幾何思維，這兩大思維貫穿于數學教學的始終.所以，數學教學要有效率，關鍵在于我們要培養學生的數學思維.本文將以培養學生的代數思維為例進行論述.

一、代數思維的本質

所謂代數思維，就是用某個簡單形式符號代替具體數字或者一大串數字和字母的組合的思維.代數思維的核心思想就是追求形式上的一致，而不管具體符號是什么，即無論用什么符號，只要形式一致，就可以認為這些符號表示的含義一致.例如，函數f(x)=x2，x∈R和函數f(y)=y2，y∈R，這兩個符號中雖然其中一個用x表示，另一個用y表示，但它們的本質都是:字母的系數是1，次數是2，字母的范圍是一切實數，所以這兩個符號在本質上是一樣的，表示的數學含義也一樣.

本文將從“用構造法求數列的通項公式”的課例進行具體論述.

二、課例分析

1問題的基本形式

例1 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+3，求數列{an}的通項公式.

現在將上例的遞推公式中an的系數和常數項一般化，則上例實際變成以下問題:

a1=1，an+1=Aan+B，(1)

其中A，B是常數，A≠1，B≠0.(事實上，若A≠1，則{an}滿足就是等差數列，無需再深入研究;若B≠0，則{an}滿足就是等比數列，同樣不必再做深入研究.)

2問題變式中的障礙和代數思維的引導

對于問題(1)，在教師的指引下，絕大部分學生很快就掌握其解題的思想方法和解題的具體步驟(這個思想方法和步驟基本上每個教師都會在其課堂上講述得很清楚，這里就不再贅述).但當把問題(1)中的常數項B換成是關于n的函數以后，很多學生就一籌莫展了，即使在教師的詳細講解之后，很多學生對類似的問題還是無計可施，原因何在？我們看以下實例(這個是我的課堂實例，以下的一些師生交流也是我那堂課的互動)，并從中分析學生對這類問題感到困難的原因以及如何培養學生的代數思維.

例2 已知數列a1=2，an+1=3an+2n+1，求數列{an}的通項公式.

在例2中，數列{an}滿足遞推公式

an+1=3an+2n+2.(2)

與(1)式的形式十分相似，但又有區別.在問題(1)中，B是常數，而在(2)中，2n+1相應于(1)中的B，此時它不再是常數，故不能直接用解決(1)的方法來解決(2)，一個很自然的想法就是把(2)中2n+1變為常數，這一點很多學生也可以想到，于是(2)式兩邊同時除以2n+1，問題(2)就變為

an+12n+1=3an2n+1+1，(3)

此時B的位置已經變為常數了，但在(3)式中，等式的左邊和右邊的第一項較之(1)式等式的左邊和右邊的第一項要復雜了很多，于是學生就無法解決了.

之所以出現解不出的現象，主要是學生把全部的注意力集中到了題目要求的an上了，他們處理的方式是將(3)中的左邊和右邊的第一項的分子和分母分別對待，而不是把它們看做一個整體，即他們把目標鎖定在an和an+1上了，這時當然無計可施了.作為教師，我們可以這樣啟發學生:

師:對于(3)中的左邊，我們是否可以不單獨看an+1，而把an+12n+1看做一個整體，并給它一個新的記號bn+1，即記bn+1=an+12n+1，那么bn是什么?

生(七嘴八舌):an2n.

師:很好.那么，如果我們用新記號bn，(3)式應該怎么寫?

生(七嘴八舌):bn+1=32bn+1.

師:很好.當采用了新記號bn以后，你能從得到的遞推式中求出bn嗎?為什么?

生(七嘴八舌):可以.因為這個遞推式和問題(1)在本質上是一樣的.

用新記號bn來表示，問題(3)就變為

bn+1=32bn+1.(4)

我們發現問題(4)和問題(1)在形式上已經無任何區別，這時使用問題(1)的方法就可以用于問題(4)，從而就馬上可以求出bn.又bn和an有關系bn=an2n，所以an馬上就可以求出來了.

三、結 論

從上面的課例和學生在課堂上的反應可以得到初步的結論:學生之所以不會解決問題(2)，是因為他們在學習的過程中，沒有形成代數思維，即不會用符號形式看問題的本質.而一旦教師作出適當引導之后，他們學會了代數思維，問題(2)立即就可以解決.可見，代數思維對于數學這門功課是十分重要的，我們在課堂上要逐漸培養學生的代數思維，讓他們用代數思維挖掘問題的本質，從而達到數學課堂教與學的高效性.

【參考文獻】

［1］周遠方，田祥高.關注學生的思維發展，構建有效的數學課堂［J］.數學通訊，2011（2）:12-17.

［2］陶維林.數學教學是思維的教學.數學通報，2008（3）.

［3］中華人民共和國教育部編訂.普通高中課程標準實驗教材#8226;數學5（必修）.人民教育出版社（A版），2004.

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