一題多解思路活

數學題浩如煙海，我們不可能把所有題都做到，與其做很多題，不如把一道題做透，用不同的方法解決同一道題，對解題者的思維鍛煉效果極佳.下面這道高考題我就找到了這么幾種解法，拿出來和大家一起分享，也請大家不吝賜教.

例 (2009年廣東卷21題)已知曲線Cn：x2-2nx+y2=0(n=1，2，…)，從點P（-1，0）向曲線Cn引斜率為Kn(Kn>0)的切線ln，切點為Pn(xn，yn).求數列{xn}與{yn}的通項公式.

分析 以數列的形式出現，實質是從曲線外一點向曲線引切線，求切點坐標問題.

思路一 方程思想，建立關于未知量xn，yn的方程組.

因為點(xn，yn)在曲線Cn上，滿足Cn的方程，可得

x2n-2nxn+y2n=0.①

由x2-2nx+y2=0求導，可得y′x=n-xy.

有Kn=n-xnyn，由切線ln過點P（-1，0）和Pn(xn，yn)，有Kn=yn1+xn，得方程

n-xnyn=yn1+xn.②

聯立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1，n∈N+.

思路二 求交點、切點，即直線與曲線的交點.

設ln：y=Kn(x+1)，聯立x2-2nx+y2=0，消y，得

(1+K2n)x2+(2Kn-2n)x+k2n=0.

因為直線與曲線相切，則

Δ=（2Kn-2n)2-4K2n(1+K2n)=0，解得Kn=n2n+1.

這時，xn=n-K2n1+K2n=nn+1，yn=Kn(xn+1)=nn+12n+1.

思路三 數形結合，挖掘曲線的幾何特征.曲線Cn配方，得(x-n)2+y2=n2是以C(n，0)為圓心，n為半徑的圓，從點P（-1，0）向上半圓引切線（斜率Kn>0），求切點坐標.

由PPn⊥CPn知Kn#8226;KCPn=1，得方程

ynxn+1#8226;ynxn-n=-1.①

由點Pn(xn，yn)在曲線Cn上，得方程

x2n-2nxn+y2n=0.②

聯立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1.

思路四 公式法.套用切線方程公式，過切點(xy，yn)的切線方程為xnx-n(xn+x)+yny=0.

將P（-1，0）代入，得-xn-n(xn-1)=0，解得xn=nn+1.

將xn=nn+1代入曲線Cn的方程，解得yn=nn+12n+1.

一題多解樂趣多，每找到一種不同的解法就會讓解題者思維豁然開朗一次，成功所帶來的喜悅更是美妙無比，讓人流連忘返.一道題用不同的方法解，每得到一種解法，所帶來的成功感是成幾何級數成長的.一題找到十種解法，和解決十道不同的題，快樂不可同日而語.

一題多解鍛煉人.為了找不同的解法，我們需要做很大的努力，查找很多資料，在這個過程中，對自己的知識體系也是一個梳理的過程，各種相關知識被分門別類、脈絡清晰地在大腦中二次加工，知識在不知不覺中得到自然的升華.

數學學習就應該這樣，不應該為了解題而解題，每道題目就是一個小小的數字游戲，只有我們全盤掌握了規則，才能從游戲中體會到樂趣.

這道題我想到了這么多種解法，相信還有其他更多的解法沒有被我發掘到，聰明的讀者，您能否再找到其他的解法呢？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文