高中學生幾何推理能力層級結構模型

【摘要】建立高中幾何推理層級結構模型，引導教師關注不同學習階段在不同層級上學生的幾何推理能力發展，改變脫離學習者自身經驗的單純追求邏輯推理能力的技能操練.

【關鍵詞】高中幾何；推理能力；層級結構；模型

數學的發展顯示出層次性，一個人在數學上能達到怎樣的層次，則因人而異，取決于他的先天和后天的條件.但是，一個為多數人都能達到的層次必須存在.數學教育家的任務就在于幫助多數人去達到這個層次，并不斷努力提高這個層次，提出達到這個層次的途徑.對幾何教學而言，促進學生的幾何推理能力不斷地從一個層次躍上一個新的層次，首先需要確認這樣的層次劃分是可行的和具有可操作性的.筆者依據我國高中學生幾何思維水平，提出幾何推理層級結構模型.

1幾何推理層級發展觀

荷蘭數學教育學家范#8226;希爾（Van Hiele）提出了幾何思維水平五個層次的劃分.他認為，不論是教師的教學方式或是學生的學習方法都會影響幾何思維層次的提升，學生學習幾何發生困難，往往是因為學校的教材內容不符合學生的思維層次，造成學生靠記憶或背誦的方法來學習，學習效果當然不佳.為此，他在提出幾何思維水平五個層次的同時，提出了幾何五階段學習模式，將目標層次和具體教學設計結合在一起，明確了在某個層次上的教學設計要求.

范#8226;希爾的幾何推理層級發展觀，對按照學生幾何推理能力的認知順序構建幾何推理層級結構模型及其教學系統提供了理論支撐.從筆者對高中學生幾何推理能力形成和發展的過程及其統計結果來看，學生的幾何推理能力是逐步改進和完善的層級遞進的發展過程，以學生幾何推理能力層級發展的規律，構建幾何推理層級結構模型，引導教師把層級發展目標與教學設計緊密結合起來，在促進層級發展過程中實現預期教學目標.

2幾何推理層級結構模型

筆者將高中學生幾何推理能力視為一個系統的動態發展過程.如圖：

該模型將學生幾何推理能力發展架構在更豐富的思維方式上，包括歸納、類比、邏輯分析、建模、系統化、最優化等，以使其在不同層次上對學生幾何推理能力的發展發揮綜合的促進作用.因此，推理層級結構模型建構的意義還在于發展幾何推理能力的同時，培養學生自主學習和發展綜合思維能力.正像王梓坤先生在闡述數學對公民素質的重要貢獻時提出的“數學給予人們的不只是知識，更重要的是能力，這種能力包括直觀思維、邏輯推理、精確計算和準確判斷”.

3幾何推理層級結構模型的特點

幾何推理層級結構模型為幾何推理架構了一個系統的、循序漸進的發展系統.其主要特點表現在如下幾個方面：

(1)重視在幾何課程中發展學生綜合推理能力的同時，體現幾何課程有利于發展學生邏輯思維能力的獨特教育功效.幾何課程“不應將證明能力的發展與一般思維水平完全分隔開來，或是認為在這兩者之間存在絕對的先后關系；證明能力應被看成思維發展水平的一個重要方面，或者說，在證明能力與一般思維能力之間存在有相互促進、互相制約的交互作用”(Gila Hanna，1989).

(2)對每名學生而言，在每一個層級存在達到和推進發展兩種可能.同一年級學生在不同推理方式上表現出層級發展趨勢，不同年級學生在同一推理方式上也表現出層級發展趨勢.因此，對每名學生而言，在每一個層級存在著達到和推進發展兩種可能.在低年級達到了某層級要求，相對高年級而言，將向前推進了一步；對同一年級的學生，有些學生可能達到了某一層級并向新的更高的層級推進，而另一些學生可能尚沒有達到某一層級，但在更高的層級上也會有所發展.

(3)層級水平包含推理的思維活動和推理表達兩個要素.推理是由一系列思維活動來實現的，層級水平是通過推理的思維活動效果的表達來確認的，二者缺一不可.每一層級推理活動包含了實現該層級所進行的所有推理活動經驗，同時為層級的進一步提升提供發展基礎.語言描述推理的水平是推理思維活動水平的標志，增進學生描述推理能力與促進學生推理能力發展同等重要.推理活動與其表達相互促進，互為基礎，相得益彰.

(4)推理層級是相對的、模糊的和動態發展的.同一年級學生在不同層級上的推理能力和不同年級在同一層級上的推理能力是有差異的.隨著年齡的增長，學習的不斷深入，不同發展階段形成的推理能力，在新的情境中得到綜合應用和進一步發展.幾何推理層級結構模型所建構的幾何推理系統是一個迂回的、螺旋式的發展系統.

(5)推理層級結構模型重視學生認知發展規律性和推理能力發展的全面推進.幾何推理層級結構模型區別于以往的幾何推理結構的其他分類形式，是伴隨課程的展開、年級的提高、思維活動的逐漸抽象而建構起來的.各種推理方式第一次呈現時的先后順序，在推理發展過程中每一年級學生在每一種推理方式上，都在橫縱兩個方向上推進和提升層級.

4基于幾何層級模型的教學建議

幾何推理層級結構模型的建立，引導教師有意識地關注不同學習階段在不同層級上促進學生幾何推理能力的發展.同時通過每一個課題教學促進和強化各層級推理能力.幾何課程內容的編排需要充分考慮知識的展開順序和學習者的認知發展水平相適應，學生的幾何推理能力發展也應當是與之相適應的一個循序漸進的過程，不能夠跳過直觀及中間的推理發展過程直接進入形式推理能力發展階段.正像格拉斯費爾德所述：“我們并不清楚掌握一項知識對于教師來說可能只是一小步，而對學生來說卻不那么簡單.在認知發展過程中，確實存在那么幾個重要的步驟，這幾個步驟一旦邁出，就很難使人充分地意識到，更別說要人們像記憶經過刻苦努力的成果那樣記住它們.”(萊斯利#8226;P#8226;斯特弗等，2002)弗賴登塔爾是20世紀60年代初“新數運動”的反對者之一.他說：“如果內容本身像‘天外來客’般的讓人感到無法琢磨，學生就不知道應該怎樣做和怎樣思考，就會感到茫然和無能為力.‘新數學’之所以給人‘學過就忘’的感覺，原因就在這里.”(H.Freudenthal，1998)有些教師對發展學生幾何推理能力的意識不高，認為只不過是完成教學任務的“副產品”而已，對發展推理能力的認識停留在學生被動地完成教材、教輔中的證明題，會解考試卷上的幾何證明題.然而，即使教師費盡心思找題、編題和傳授各種可能的論證技巧，學生在“茫茫題海”中反復進行推理技能演練，卻仍看不到有效地發展，眾多學生漸漸失去了對幾何學習的熱情和信心.事實上，這個讓教師百思不得其解的問題的癥結，很大程度上在于錯過了不同學習階段、不同層次上發展學生幾何推理能力的最佳時期和機會.學生的幾何推理能力的發展應該貼近學習者自身的經驗，順應課程內容的展開和學生思維能力的發展過程.

因此，在教學中要引導學生經歷現實生活情境“數學化”的過程，并將現實生活素材轉化為數學素材，同時又要重視超越現實，發展高層次的抽象推理能力，以引導學生從“現實生活的數學”逐漸過渡到“純數學”.有效的教學設計是在發展學生“非形式邏輯”推理的同時，形式邏輯推理也“拾級而上”，最終達到提高學生幾何推理能力的目的.

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