橢圓\\雙曲線離心率的取值范圍的解析

【摘要】求橢圓、雙曲線離心率的范圍，相對難度就要大些，如果已知條件沒有直接給出不等關系，就要從條件中挖掘出來，這除了要求學生對以上知識和能力熟悉以外，還要求對性質理解要深刻，如焦半徑的范圍要熟悉，曲線上任一點的橫坐標的范圍要熟悉，通徑與曲線的交點要熟悉.本文就具體試題進行分析.

【關鍵詞】橢圓；雙曲線；離心率

例1 （2008年福建卷11)雙曲線x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F1，F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（）.

A（1，3）

B（1，3］

C（3，+∞）

D［3，+∞）

解析 設P為第一象限上的點，

由|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a.

又 ∵|PF2|≥c-a，

∴2a≥c-a，∴3a≥c，∴1

例2 （2010年高考四川卷理科9）橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（）.

A0，22

B0，12

C［2-1，1）

D12，1

解析 由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等.

而|FA|=a2c-c=b2c，|PF|∈［a-c，a+c］，

于是b2c∈［a-c，a+c］，即ac-c2≤b2≤ac+c2.

∴ac-c2≤a2-c2，a2-c2≤ac+c2，∴ca≤1，ca≤-1或ca≥12.

又 e∈(0，1)，故e∈12，1.

評注 利用圓錐曲線相關性質“雙曲線焦半徑|PF2|≥c-a，橢圓焦半徑|PF|∈［a-c，a+c］”建立a，c不等關系求解.

例3 （2008年湖南卷理8）若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上橫坐標為3a2的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（）.

A(1，2)

B(2，+∞)

C(1，5)

D(5，+∞)

解析 設該點為P，左右焦點分別為F1，F2，則有

|PF2|>3a2--a2c.

由焦半徑公式，得|PF2|=e#8226;3a2-a.

∴e#8226;3a2-a>3a2+a2c，∴3c2-a>3a2+a2c，

∴3c2-5ac-2a2>0，∴3e2-5e-2>0，

∴e>2.故選B.

評注 利用已知條件的不等關系和焦半徑公式找到a，c的關系不等式.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文