如何利用增根性質解決分式方程中的字母系數問題

【摘要】利用增根產生的原因，得出分式方程的增根雖然不是根，但它具有特有的性質：(1)是分式方程化成的整式方程的根；(2)能使分式方程最簡公分母為0 .利用增根的性質可以幫助我們確定方程中的待定系數，為方程里的字母系數的求解另辟蹊徑.

【關鍵詞】分式方程；增根；字母系數

我們知道解分式方程與整式方程的一個最大不同是分式方程要驗根，就是因為解分式方程的過程中化分式方程為整式方程時可能會產生增根.根據增根產生的原因，可以得知分式方程的增根有如下性質：

(1)是分式方程化成的整式方程的根.

(2)能使分式方程最簡公分母為0.

利用增根的性質，可以幫助我們確定分式方程中的一些字母系數.

例1 若分式方程6(x+1)(x+1)-mx-1=1有增根，則它的增根是().

A0

B1

C-1

D-1和1

分析 ∵方程有增根，∴化成的整式方程有解.

∴將分式方程先去分母化為

6-m(x+1)=(x+1)(x-1)，

6-mx-m=x2-1，x2+mx+m-7=0.

∵(x+1)(x-1)=0時，分式方程的增根可能為1或-1.

①當x=1時，x2+mx+m-7=0，1+m+m-7=0，∴m=3；

②當x=-1時，x2+mx+m-7=0，1-m+m-7=0，不成立.

∴分式方程的增根為1.

解 選B.

總結：利用性質（2）推測增根是幾，然后利用性質（1）確定增根具體是幾.

例2 若關于x的方程ax+1x-1-1=0無解，則a的值為.

分析 ∵方程無解，

∴根據增根的性質可知，無解有兩層含義：

①分式方程有增根；

②化成的整式方程無解.

故分兩種情況討論.

解 原方程ax+1x-1-1=0可化為

ax+1-x+1=0，(a-1)x+2=0.

∵方程無解，

∴①當分式方程有增根時，增根為1.

將x=1代入(a-1)x+2=0，得a=-1.

②當整式方程無解時，a-1=0，∴a=1.

綜上所述，當a=±1時，方程無解.

例3 若關于x的分式方程m-1x-1=2的解為正數，則m的取值范圍是().

Am>-1

Bm≠1

Cm>1且m≠-1

Dm>-1且m≠1

分析 ∵方程解為正數，

∴方程無增根，即整式方程有解.

解 原方程m-1x-1=2可化為m-1=2x-2，x=m+12.

∵x>0，∴m+12>0，∴m>-1.

又 ∵x≠1，∴m+12≠1，∴m≠1.∴選D.

總結 在解決此類問題時，要注意取值范圍中是否包含能使方程有增根的值，如果有要及時去掉，而這也常常被 學生所忽略.

練習

1.當m=時，關于x的分式方程2x+mx-3=-1無解.

2.關于x的方程m-1x+1-xx-1=0無解，則m=.

3.關于x的方程ax+1=1的解是負數，則a=.

4.已知方程2x-x-mx2-x=1+1x-1，是否存在m的值，使得原方程無解？若存在，求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文