例析二元一次不定方程的解法

【摘要】本文主要通過三個實例詳盡而具體的說明了二元一次不定方程的解法.

【關鍵詞】不定方程；通解；解法

不定方程是數論中一個古老的分支，至今仍是一個很活躍的數學領域.中小學數學競賽也常常因為某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程問題.下面，我就通過三道具體實例，來示范說明一下不定方程的解法.

定義 形如ax+by=c(a，b，c∈Z，ab≠0)的方程稱為二元一次不定方程，求原方程的整數解的問題叫做解二元一次不定方程.

定理1 原方程有整數解的充分必要條件是(a，b)|c.

推論 若(a，b)=1，則原方程一定有整數解.

定理2 若(a，b)=1，且(x0，y0)為原方程的一個整數解（特解），則原方程的全部整數解（通解）都可表成

x=x0-bt，y=y0+at，(t∈Z)或x=x0+bt，y=y0-at，(t∈Z).

由上述定理可知，求不定原方程整數解的步驟是：

①(a，b)=d.

②判定原方程是否有解：當dD|/c時，原方程無整數解；當d|c時，原方程有整數解.在有整數解時，方程同解變形，兩邊除以d，使原方程轉化為(a，b)=1的情形.

③求特解，寫通解.（注：通解形式不唯一）

可見，求特解是解二元一次不定方程的關鍵.

首先，對方程的未知數系數較小，或系數與常數項有和、差、約數、倍數關系時觀察法是最簡單易行的便捷方法.

例1 求不定方程15x-25y=100的整數解.

解 ∵(15，25)=5|100，∴原方程有整數解.

15x-25y=1003x-5y=20，(3，5)=1.

利用觀察法可知（5，-1）是這個方程的特解，因此方程的全部整數解是x=5-5t，y=-1-3t，(t∈Z).

其次，對于用觀察法看不出特解，或未知數系數較大時，我們則可采用下列幾種方法:

1分離整數法

此法主要是通過解未知數的系數中絕對值較小的未知數，將其結果中整數部分分離出來，則剰下部分仍為整數，令其為一個新的整數變量，據此類推，直到能直接觀察出特解的不定方程為止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例2 解不定方程37x+107y=25.

解 ∵(37，107)=1|25，∴原方程有整數解.

先用x，y的系數中較小的37去除方程的兩邊，并解出x，得x=25-107y37.

再把上式右邊y的系數和常數項的整數部分分離出來，寫成x=1-3y+-12+4y37.

由于x，y都是整數，1-3y也是整數，則-12+4y37也一定是整數，則可令y0=3（由于此時-12+4×337∈Z），則有x0=-8.

補充說明 假設通過原式中未看出特解，可令-12+4y37=t∈Z，4y-37t=12，y=12+37t4=3+9t+t4.

則t4∈Z，有t0=0，從而有y0=3，可推得x0=-8.

這樣得原不定方程的特解為x0=-8，y0=3.

∴原不定方程的通解為x=-8-107t，y=3+37t，(t∈Z).

2逐漸減小系數法

此法主要是利用變量替換，使不定方程未知數的系數逐漸減小，直到出現一個未知量的系數為±1的不定方程為止，直接解出這樣的不定方程（或可以直接能用觀察法得到特解的不定方程為止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例3 解不定方程37x+107y=25.

解 ∵(37，107)=1|25，∴原方程有整數解.

由37<107，用y來表示x，得

x=25-107y37=1-3y+-12+4y37.

則令-12+4y37=k∈Z，即4y-37k=12.

由4<37，用k來表示y，得y=12+37k4=3+9k+k4.

則令k4=t∈Z，得k=4t.

將上述結果一一代回，得原方程的通解為x=-8-107t，y=3+37t，(t∈Z).

3輾轉相除法

此法主要借助輾轉相除式逆推求特解.

例4 解不定方程37x+107y=25.

解 ∵(37，107)=1|25，∴原方程有整數解.

用輾轉相除法求特解：

107=37×2+33，37=33×1+4，33=4×8+1.

從最后一個式子向上逆推得到

37×(-26)+107×9=1，

∴37×(-26×25)+107×(9×25)=25.

則特解為x0=-26×25=-650，y0=9×25=225，

通解為x=-650-107t=-8-107(t+6)，y=225+37t=3+37(t+6)，(t∈Z)

或改寫為x=-8-107t，y=3+37t，(t∈Z).

4歐拉算法

受輾轉相除法的啟示，此題可簡化為采用歐拉算法的方法求解.其實質仍是找出(a，b)表為a，b的倍數和時的倍數，從而求出特解.

例5 解不定方程37x+107y=25.

解 ∵(37，107)=1|25，∴原方程有整數解.

∴37×(-26)+107×9=1，37×(-26×25)+107×(9×25)=25.

則特解為x0=-26×25=-650，y0=9×25=225，

通解為x=-650-107t=-8-107(t+6)，y=225+37t=3+37(t+6)，(t∈Z)

或改寫為x=-8-107t，y=3+37t，(t∈Z).

5同余替換法

此法主要是取未知量系數絕對值較小者作為模，對另一系數和常數項取同余式，將其值替換為較小的同余值，構成一個新的不定方程，據此類推，直到某不定方程的一個變量系數為±1為止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解.

例6 解不定方程37x+107y=25.

解 ∵(37，107)=1|25，∴原方程有整數解.

37x+107y = 25

37k-4y=-12（1）

37≡1(mod 4)-12≡0(mod 4)

則原方程轉化為k-4t=0，

即k=4t，將其代入（1），有y=3+37t.

再將上式代入原方程，有x=-8-107t.

綜上得原方程的通解為x=-8-107t，y=3+37t，(t∈Z).

最后，對于未知數系數和常數項之間有某些特殊關系的不定方程，如常數項可以拆成兩未知數系數的倍數的和或差的不定方程，可以采用分解常數項的方法去求解方程.

例7 解不定方程3x+5y=143.

解 3x+5y=1433x+5y=140+33(x-1)+5(y-28)=0.

∵(3，5)=1，∴x-1=-5t，y-28=3t，

∴原方程的通解為x=1-5t，y=28+3t，(t∈Z).

總之，二元一次不定方程的解法很多，也很巧妙、有趣.要想靈活的去求解二元一次不定方程，除了要掌握各種具體的解法以外，還要學會具體問題具體分析，并要具有一定的將所學知識融會貫通的能力.

【參考文獻】

［1］人民教育出版社中學數學室.代數與初等函數.北京：人民教育出版社，1999.

［2］王元.高等師范院校小學教育專業數學教材#8226;初等數論.北京：人民教育出版社，2003.

［3］王進明.大學本科小學教育專業教材#8226;初等數論.北京：人民教育出版社，2002.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文