學生在運用三角函數的性質問題時常見的錯誤

三角函數的性質是三角函數這一章很重要的內容，也是學生在學習三角函數這一章內容的重點和難點，高考試題中都有出現，所占的比重也較大，學生往往不容易掌握.由于對概念理解不透，公式使用不當，學生在解題時總愛出現一些失誤.如何幫助學生擺脫失誤的困擾，是十分必要的.筆者就近幾年在教學時所發現的學生常出現的一些錯誤以選擇題的題型為例歸納總結如下：

1忽視正、余弦函數的值域

=cosx-322-14.

剖析 本題錯解的原因是學生在求二次函數的最值的心理定式作用下，就貿然作出了當cosx=32時，y有最小值的選擇，而忽視了余弦函數的值域是［-1，1］這一關鍵點.事實上，cosx不可能取得32這一值.

正解 y=cosx-322-14，且-1≤cosx≤1，∴當cosx=1時，取得最小值0.故選B.

2忽視ω的要求條件

錯解 ∵ω=a，所以根據公式函數y=tanax+π3的周期T=πa，∴選C.

剖析 以上的錯解就是y=Atan（ωx+φ）（其中A≠0，ω＞0），而學生在解題時忽視了ω＞0的這一重要條件，因而作出了錯誤的解答.應選D.

3忽視φ的取值的準確性

錯解 ∵T4=3-1=2，∴T=8，∴ω=π4.

∴函數y=sinπ4x+φ.∵x=3時，y=0，

∴sin3π4+φ=0，∴3π4+φ=2π，∴φ=5π4.故選D.

剖析 雖然5π4∈［0，2π］，但若選D，則y=sinπ4x+5π4，取x=1，得y=-1.顯然與已知圖像不符，故選D是錯誤的.產生錯誤的原因是學生在解題時沒有整體協調觀念，片面地求得φ=5π4，作出了錯誤的選擇.

正解 ∵T4=3-1=2，∴T=8，∴2πω=8，∴ω=π4.

∴y=sinπ4x+φ，當x=3時，y=0，

∴sin3π4+φ=0，

∴3π4+φ=kπ（k∈Z），取k=1，得φ=π4.∴選C.

4忽視函數圖像的變換

例4 為了得到函數sin2x-π6的圖像，可以將函數y=cos2x的圖像（）.

A向右平移π6個單位長度

B向右平移π3個單位長度

C向左平移π6個單位長度

D向左平移π3個單位長度

錯解 ∵-π6<0，故將函數y=cos2x的圖像向右平移π6個單位長度，可以得出函數y=sin2x-π6的圖像.∴選A.

剖析 本題是考查正弦函數圖像的變換，三角函數圖像的移動變換應在同名三角函數的前提下較易觀察，因而首先應把函數y=cos2x通過誘導公式化成正弦函數后進行觀察，再作出正確的判斷.

正確 ∵y=cos2x=sin2x+π2=sin2x+π4，

而y=sin2x-π6=sin2x-π12

=sin2x-π3+π4，

∴只需將函數y=sin2x+π4，即函數y=cos2x的圖像向右平移π3個單位長度就可以得到函數y=sin2x-π6的圖像.∴選B.

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