巧優(yōu)化 避討論

分類討論常滲透于綜合性強(qiáng)且有一定難度的數(shù)學(xué)問題中.平時(shí)我們比較注重如何進(jìn)行討論，但由于討論對知識準(zhǔn)確性、思維嚴(yán)謹(jǐn)性要求較高，時(shí)常成為很多同學(xué)解決問題的“攔路虎”.如果在解題時(shí)能克服這種思維定式，對有些問題學(xué)會回避分類討論，可達(dá)到方法上的優(yōu)勢互補(bǔ).為此，本文介紹幾種優(yōu)化解題思想、回避分類討論的常見策略.

一、數(shù)形結(jié)合 回避討論

例1 已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程.

分析 所求切線過圓上一點(diǎn)M，用點(diǎn)斜式求切線方程需討論斜率是否存在.考慮幾何方法求解，就可回避討論.

解 設(shè)P(x，y)為切線上任一點(diǎn)，連OM，OP，由勾股定理，可得OM2+MP2=OP2，即r2+(x-x0)2+(y-y0)2=x2+y2.注意到x20+y20=r2，化簡得所求的切線方程為x0x+y0y=r2.

說明 涉及函數(shù)、方程和不等式等問題，可利用函數(shù)、數(shù)量特有的幾何意義，構(gòu)造圖形，尋求數(shù)形間隱藏的關(guān)系，可化繁為簡，直達(dá)主題，從而優(yōu)化解題效果，避開討論.

二、巧用公式 回避討論

例2 已知cotα=m，α∈(π，2π)，求cosα的值.

分析 從cotα出發(fā)選平方關(guān)系，可有效地避開討論.

解 由α∈(π，2π)，知sinα<0.

又 cosα=sinα#8226;cotα，

∴sinα=-11+cot2α=-11+m2，cosα=-m1+m2 .

說明 數(shù)學(xué)定義、原理蘊(yùn)含特定的數(shù)學(xué)思想，對于一些數(shù)學(xué)問題，若從最基本的知識入手，回歸定義，聯(lián)想性質(zhì)，巧用公式，可優(yōu)化解題過程.

三、引參換元 回避討論

例3 解不等式x1+x2-x2-1x2+1>0.

分析 常規(guī)法先不等式去分母，然后兩邊平方，需對不等式兩邊的正負(fù)進(jìn)行討論.若引參換元，簡單且避開了討論.

解 設(shè)x=tanθ，θ∈-π2，π2，原不等式可化為sinθ+cos2θ>0，即sinθ+1-2sin2θ>0，-12-33，∴原不等式的解為xx>-33.

說明 引參換元是一種重要的數(shù)學(xué)方法，當(dāng)數(shù)學(xué)的形式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜時(shí)可考慮換元轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問題的簡化.

四、反客為主 回避討論

例4 已知g(x)=log22x+(a-4)log2x+4-2a恒為正值且a∈［-1，1］，求x的取值范圍.

分析 此題是關(guān)于log2x的二次函數(shù)，需要進(jìn)行復(fù)雜的分類討論.由于參量a的范圍已知，采用主元變更法，反客為主，以a為自變量構(gòu)造一次函數(shù)，可回避討論.

解 設(shè)f(a)=log22x+(a-4)log2x+4-2a.

則f(a)=(log2x-2)a+log22x-4log2x+4.要使f(a)在a∈［-1，1］時(shí)恒為正值，需f(-1)>0且f(1)>0，

即log22x-5log2x+6>0，log22x-3log2x+2>0，∴l(xiāng)og2x>3或log2x<2，log2x>2或log2x<1.

解得08，故x的取值范圍為(0，2)∪(8，+∞).

說明 在含有參量的函數(shù)、不等式等問題中，若已知參量的取值范圍，常變換主元，實(shí)現(xiàn)反客為主，避開討論.

五、消除參數(shù) 回避討論

例5 設(shè)x∈(0，1)，a>1，且a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

分析 a是討論的因素.若能消去a，就可以避免討論.易知|loga(1-x)|與|loga(1+x)|均大于零，可作商比較.

解 由01，0<1-x<1，

|loga(1-x)||loga(1+x)|=|log(1+x)(1-x)|=log(1+x)11-x=log(1+x)1+x1-x2=1-log(1+x)(1-x2)>1，

故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

說明 對于有些含有參數(shù)需要討論的試題，若通過合理的轉(zhuǎn)化，能消去參數(shù)，則可避免討論，簡化計(jì)算.

六、正難則反 回避討論

例6 若x，y，z均為實(shí)數(shù)，a=x2-4y+2π，b=y2-4z+π，c=z2-4x+π，求證：a，b，c中至少有一個大于零.

分析 a，b，c中至少有一個大于零包括三種情況，討論比較復(fù)雜.考慮命題的反面，利用反證法，可避免討論.

解 假設(shè)a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0，但由題知a+b+c=x2-4y+2π+y2-4z+π+z2-4x+π=(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2+4π-12>0，這與a+b+c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一個大于零.

說明 當(dāng)遇到存在性、唯一性、至少等問題時(shí)，如果正面不易證明，要注意考慮反面，使用反證法.

七、整體分析 回避討論

例7 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x，是否有實(shí)數(shù)m，n(m<n)使得函數(shù)f(x)的定義域、值域均為［m，n］？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

分析 常規(guī)做法需討論函數(shù)f(x)的對稱軸x=1與［m，n］的位置關(guān)系.但定義域和值域的對應(yīng)關(guān)系似乎在提醒我們：f(x)在［m，n］上應(yīng)該是一個增函數(shù)！這種直覺的判斷怎么能得以落實(shí)呢？從整體上考慮，將定義域擴(kuò)大.解 函數(shù)f(x)開口向下，對稱軸為x=1，在R上的最大值是1；假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n(m

∴f(m)=-m2+2m=m，f(n)=-n2+2n=n，解得m=1或0，n=1或0.

又 ∵m

說明 本題依據(jù)“函數(shù)在整體區(qū)間上的最大值不小于在局部區(qū)間上的最大值”這一事實(shí)，使問題得以簡化處理，避免了分類討論.這種放眼全局、避重就輕的做法解決了受局部牽制的被動，抓住了最大值，也就占據(jù)了“制高點(diǎn)”.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文