淺談孿生素數的分布淺談孿生素數的分布

【摘要】R(n)表不大于n的孿生素數個數，且有R(n)~n2∏1-2pk，pk∈不大于n的所有奇素數.

【關鍵詞】孫子定理；逐步淘汰原則；黎曼ζ函數；對數函數

1歷史背景

1949年法國人波林那克提出孿生素數猜想.即相差為2的兩個素數是否有無限多組，有沒有最大的孿生素數.

2證明思路

一些國內外數學家認為孿生素數的分布與素數的分布很相似，下面簡單介紹一下素數的分布（數論導引）.

命ω(x，r)表不大于x且不為前r個素數2，3，5，…，Pr（Pr≤x）所整除的整數個數時，

ω(x，r)=x2-∑1

ω(x，r)~x2-∑x2Pi+∑x2PiPj……

=x21-∑1Pi+∑1PiPj-……

=x2∏1-1Pr≥x21lnx=xlnx.

以上結論還可以理解為ω(x，r)為不大于n的所有整數的個數中減去所有滿足x≡0(mod Pr)的整數后剩余的整數個數.

3孿生素數的分布

我們有x為不大于n的整數，且有前r個素數：2，3，…，Pr(Pr≤n).

定理 當x±1(mod Pr)時，則x+1，x-1同為素數，并且是孿生素數.

證明 當且僅當

x1(mod Pr)x-1(mod Pr)x-10(mod Pr)x+10(modPr)x+1，x-1同為素數，并且是孿生素數.

命N(x±1，r)表不大于n，且減去其中所有滿足有x≡±1(mod Pr)的整數后余下的整數個數.

現在我們先給出結果：

N(x±1，r)=n2-∑2≤k1≤rn2pk1#8226;2+ ∑2≤k1

~n2-∑2n2pk1+∑22n2pk1pk2-…+ (-1)s∑2sn2pk1…pks-…

=n21-∑2n2pk1+∑222pk1pk2-…+ (-1)s∑2s2pk1…pks-…

=n2∏1-2pk.

N(x±1，r)=n2-∑2≤k1≤rn2pk1#8226;2+ ∑2≤k1

推論1 當x≡0(mod 2)時，則不超過n時，x有n2個解.

證 不大于n的偶數有n2個.

推論2 當x≡0(mod 2)，x≡±1(mod Pk1)，……x≡±1(mod Pks)，在不大于n時，則x有n2Pk1…Pks#8226;2s個解.(Pk1，…，Pks屬于不大于n的任意奇素數，且Pk1

證 ∵2，Pk1，…，Pks兩兩互素，由孫子定理，得

∴x≡M2α2C2+MPk1αPk1CPk1+…+MPksαPksCPks(mod 2#8226;Pk1…Pks).

又 ∵CPk1，CPk2，…，CPks=1，-1都有兩個值，

∴在0

故在不大于n時，x有n2Pk1Pk2…Pks#8226;2s個解 .

4關于R(n)的進一步推論

推論1 ∏1-2Pk>∏1-1Pk2∏1-1P2k.

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