例談?wù)齖\余弦定理的應(yīng)用

“正、余弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓.它是三角函數(shù)知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其他數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.本文以例題的形式談一下用正、余弦定理來(lái)解決的三類(lèi)問(wèn)題.

類(lèi)型一 利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

例1 在△ABC中，已知bcosA=acosB，則△ABC的形狀是.

分析 在判斷三角形形狀時(shí)，可以根據(jù)角的關(guān)系，也可根據(jù)邊的關(guān)系，所以在已知條件的運(yùn)用上，可以考慮兩種途徑：將邊轉(zhuǎn)化為角，將角轉(zhuǎn)化為邊.下面，我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析.

解法一 利用余弦定理將角化為邊.

∵bcosA=acosB，∴b#8226;b2+c2-a22bc=a#8226;a2+c2-b22ac.

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2，∴a2=b2，

∴a=b.故此三角形是等腰三角形.

解法二 利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.

∵bcosA=acosB，又b=2RsinB，a=2RsinA，

∴2RsinBcosA=2RsinAcosB，

即sinBcosA=sinAcosB.

∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin(A-B)=0.

∵0

∴A-B=0，即A=B.故此三角形是等腰三角形.

小結(jié) (1)在判斷三角形形狀時(shí)，一般考慮兩種途徑，將角轉(zhuǎn)化為邊，通常是正、余弦定理結(jié)合使用.另一個(gè)途徑是將邊轉(zhuǎn)化為角.通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁——正、余弦定理.

(2)解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要先確定角的范圍.另外，也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinBcosA=sinAcosB兩邊同時(shí)除以sinAsinB，得cotA=cotB，再由0

類(lèi)型二 利用正、余弦定理解斜三角形

例2 銳角三角形ABC中，邊a，b是方程x2-23x+2=0的兩根，角A，B滿(mǎn)足2sin(A+B)-3=0，求角C的度數(shù)、邊c的長(zhǎng)度及△ABC的面積.

解 ∵2sin(A+B)-3=0，∴sin(A+B)=32.

又 ∵△ABC為銳角三角形，

∴A+B=120°，∴C=60°.

∵邊a，b是方程x2-23x+2=0的兩根，

∴a+b=23，ab=2，

∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6，

∴c=6，

∴S△ABC=12absinC=12×2×32=32.

小結(jié) (方法技巧)（1）利用互補(bǔ)角的正弦值相等，可得sinC=32，得C=60°.

（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和余弦定理結(jié)合，求出邊長(zhǎng)c.

（3）利用三角形面積公式S△ABC=12absinC，即可求出面積.

類(lèi)型三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用

例3 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a2-c2=2b且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解 由余弦定理，得a2-c2=b2-2bccosA.

又 a2-c2=2b，b≠0，

∴b2-2bccosA=2b，即b=2ccosA+2.①

又 sinAcosC=3cosAsinC，

∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC.

∴sin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC.

由正弦定理，得sinB=bcsinC，故b=4ccosA.②

由①②，解得b=4.

小結(jié) (方法技巧)（1）將余弦定理變式：a2-c2=b2-2bccosA與已知條件a2-c2=2b，b≠0結(jié)合得到①式：b=2ccosA+2.

（2）觀(guān)察已知條件sinAcosC=3cosAsinC的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系兩角和的正弦公式和互補(bǔ)角的正弦值相等，得sinB=4cosAsinC，再結(jié)合正弦定理，得到②式：b=4ccosA是解答此題的關(guān)鍵.

以上是筆者在教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì).事實(shí)上，正、余弦定理不只是在解斜三角形中廣泛應(yīng)用，而在實(shí)際生活中也有其獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值.在每年高考中，正、余弦定理與三角函數(shù)、向量、幾何等知識(shí)緊密相連，體現(xiàn)了知識(shí)的交叉性和綜合性.因此，在我們今后的教學(xué)過(guò)程中，要重視正、余弦定理的教學(xué)及其應(yīng)用.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文