將軍飲馬問題的妙用

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.

如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問：怎樣走才能使總的路程最短？

這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教這個(gè)百思不得其解的問題.

從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.

分析 這是著名的“將軍飲馬問題”.在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和.現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的那個(gè)點(diǎn)來.

解答 如圖2，過B點(diǎn)作河邊MN的垂線，垂足為C，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，點(diǎn)B′是B地對(duì)于河邊MN的對(duì)稱點(diǎn).連接AB′，交河邊MN于點(diǎn)D，那么D點(diǎn)就是將軍所要飲馬的地點(diǎn).

為什么飲馬的地點(diǎn)選擇在D點(diǎn)能使路程最短呢？因?yàn)槿芜x擇河邊MN的其他點(diǎn)，如E，路程AE+EB=AE+EB′，由于A和B′兩點(diǎn)的連線中，線段AB′是最短的，所以選擇D點(diǎn)時(shí)路程要短于選擇E點(diǎn)時(shí)的路程.

與平幾有關(guān)的最值問題是中考題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的常見題型.此類問題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解法頗具技巧性.本文結(jié)合將軍飲馬問題，從以下三個(gè)方面談最值問題.

一、圖形變換的最值問題

例1 (2006年河南中考題)如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是多少？

解析 如圖4，以AB所在的直線將△ABC翻折得△ABF.又因?yàn)锳C=BC，∠ACB=90°，所以四邊形ACBF是正方形.連接DF交AB于E′，連接CE′.因?yàn)辄c(diǎn)C，點(diǎn)F關(guān)于AB對(duì)稱，所以CE′=FE′.又因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以線段FD的長(zhǎng)即為EC+ED的最小值.根據(jù)勾股定理，此時(shí)，F(xiàn)D2=BD2+BF2=12+22=5，F(xiàn)D=5，就是EC+ED的最小值.

例2 (2010年深圳市中考題)如圖5，在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn).連接PB，PQ，則△PBQ的周長(zhǎng)最小值是多少？

分析 此題和例1類似.如圖6，點(diǎn)B和D是關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn).連接DQ，交于AC于E.連接BE.所以BE=DE.又因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，則線段QD的長(zhǎng)即為BP+PQ的最小值.所以△PBQ周長(zhǎng)的最小值，就是△BQE周長(zhǎng)的最小值等于DQ+BQ的值.從而求得DQ=DC2+CQ2=22+12=5，DQ+BQ=5+1，就是△PBQ的周長(zhǎng)最小值.

評(píng)注 此類問題的解法是利用圖形的軸對(duì)稱變換，把兩條線段和的問題轉(zhuǎn)化為求某一條線段的長(zhǎng)度問題，從而使問題獲解.

二、代數(shù)中的最值問題

例3 求代數(shù)式x2+4+(8-x)2+16的最小值.

數(shù)形結(jié)合，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，利用圖形中的幾何量確定最值.最典型的例子是我們經(jīng)常利用絕對(duì)值的幾何意義來解決有關(guān)絕對(duì)值的問題.

分析 此題可以構(gòu)造兩個(gè)長(zhǎng)方形.如圖7，作線段AB=8，取AC=x，則BC=8-x.以AC為長(zhǎng)，2為寬作長(zhǎng)方形ADEC，CD=x2+4.再以BC為長(zhǎng)，4為寬，在AB的另一側(cè)作長(zhǎng)方形CFGB，則CG=(8-x)2+16，CD+CG=x2+4+(8-x)2+16.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，只有當(dāng)D，C，G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DC+CG最小.延長(zhǎng)DA，GF交于點(diǎn)H，則DH=6，GH=8，DG=DH2+GH2=62+82=10.所以代數(shù)式x2+4+(8-x)2+16的最小值是10.

三、坐標(biāo)系中的最值問題

例4 （2010年蕪湖市中考題）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（－33，1），C（－33，0），O（0，0）.將此矩形沿著過E（－3，1），F－433，0的直線EF向右下方翻折，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，C′.

（1）求折痕所在直線EF的解析式.

（2）一拋物線經(jīng)過B，E，B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式.

（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文