逆向思維與解題途徑逆向思維與解題途徑

【摘要】本文通過公式逆用;從結論入手，從反面考慮問題，待定法等舉例滲透，講述了逆向思維在解題途徑中的重要性.

【關鍵詞】逆向思維；結論入手；反面考慮；先設后定

思維形式決定著解題方法.之所以逆向思維越來越被初等數學教學所重視，一個重要的原因就在于初等數學許多重要的解題方法的思維主體是逆向的.現分析如下：

1公式逆用

學生習慣于正向使用公式，這在解題中會產生消極影響，讓學生解題思維受到阻礙.因此在教學中加強公式的逆向訓練，對促進解題是非常有幫助的.

例1 求證：對任意自然數n(n≥3)成立不等式2n(n-1)2>n!.

證明 2n(n-1)2=21+2+…+(n-1)（公式1+2+…+n=n(n-1)2的逆用）

=21#8226;22#8226;…#8226;2n-1（公式an#8226;am=an+m的逆用）.

又 2n-1=C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1（公式C0n+C1n+…+Cnn=2n的逆用）=n+C2n-1+…+Cn-1n-1>n，

∴1#8226;21#8226;22#8226;…#8226;2n-1>1#8226;2#8226;3#8226;…#8226;n=n！.

2從結論入手

解題的目的是由條件導出結論，所以學生最易想到從條件入手思考，但是當命題的條件與結論之間的關系比較不明確時，直接從條件導出結論，解題往往因方向不明而無從下手.如果從結論入手，問題解決起來就容易得多.分析法和反證法為此提供了很好的例證.分析法就是從肯定結論入手進行推理，推得符合條件或易證的命題，而且推理的每一步都具有可逆性，這樣就可以證明原命題.

例2 設a，b∈R+且2c>a+b，求證：c-c2-ab<a<c+c2-ab.

證明 設c-c2-ab

則-c2-ab

|a-c|

兩邊平方，得a2-2ac+c2

上式為已知條件且以上推理每步均可逆，故原不等式得證.

分析法是從肯定結論入手，而反證法是從否定結論開始推理，直到推出原命題與條件或事實矛盾，從而證明原命題.

例3 求證：開普勒方程x=sinx+c（其中c為常數）的解存在且唯一.

證明 ①思考直線y=x-c與正弦曲線y=sinx的交點，易得x=sinx+c的解一定存在.

②假設方程的解不唯一，即至少有兩個解x1，x2，且x1≠x2，于是x1=sinx1+c，x2=sinx2+c.

x1-x2=2cosx1+x22sinx1-x22.

∵sinx1-x22

∴|x1-x2|=2cosx1+x22#8226;sin|x1-x2|2<2cosx1+x22#8226;|x1-x2|2，

∴1

這顯然是矛盾的.即證得方程x=sinx+c的解是唯一的.

3從反面考慮問題

正面思考，雖然可以解決許多問題，但是有些問題還要從反面入手思考，反證法就是這種思想方法.其實，這種思考方法在初等數學中隨處可見，不妨從以下幾方面加以領會.

（1）反面的情形比正面情形往往簡單明朗.

例4 若下列三個方程中至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍.其中三個方程為：①x2+4ax-4a+3=0；②x2+(a-1)x+a2=0；③x2+2ax-2a=0.

分析 三個方程中至少有一個方程有實根，就意味著一個、兩個、三個方程有實根這三種可能，這樣情況就復雜多了.如果從反面思考的話，就只有一種可能：即三個方程都沒有實根.這樣復雜問題就簡單化了.

解 解關于a的不等式組(4a)2-4(-4a+3)<0，(a-1)2-4a2<0，(2a)2-4(-2a)<0，

解得-32

∴當且僅當-32

（2）剔除法解選擇題：通過排除干擾項可得到正確項，這比直接由條件正面導出正確項更簡便易行.

例5 若a，b是兩個不相等的正數，那么下列三個代數式：

甲：a+1ab+1b；乙：ab+1ab2；丙：a+b2+2a+b2

中值最大的一個是（）.

A必定是甲

B必定是乙

C必定是丙

D一般并不確定，而與a，b取值有關

解 試取a=1，b=2，則甲=5，乙=412，丙=44536，于是B，C被剔除.取a=2，b=3，則甲=813，丙=841，于是A被剔除，從而應選D.

（3）舉反例與判斷：證明一個命題正確，需要嚴格的邏輯推理過程，而否定一個命題僅僅舉個反例就可以了，和正面推理相比較，舉出反面例子來否定也是逆向思維形式之一.

例6 判斷函數f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.

分析 證明某個函數為奇（偶）函數，則需對定義域內任意一個x，證其有f(-x)=-f(x)（或f(x)）；但若判定其不是奇（偶）函數，則只需在定義域內找出一個x，讓等式不成立.不難看出，當x=π2時，f(x)有意義，而f(-x)無意義，故f(x)是非奇非偶函數.

順便指出，下面的正面推導是錯誤的：

∵f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx=2sinx2cosx2+2sin2x22sinx2cosx2+2cos2x2=tanx2，

f(-x)=tan-x2=-tanx2=-f(x)，

∴f(x)為奇函數.

仔細檢查，發現上述化簡過程不是等價的.由此可以看到，舉反例否定確是有效的判定方法.

4待定法

待定法即先設后定.在解題中，可以先設某個未知數或某個方案，然后根據條件進行具體確定.這種“先設后定”的解題思路也是逆向思維的一種.列方程解應用題、待定系數法等都是待定法在實際中的具體應用.

例7 若n，k都是給定的正整數，且n>2，k>2，則n(n-1)k-1可以寫成n個連續偶數的和.

證明 直接將n(n-1)k-1寫成n個連續偶數的和顯然較為困難，我們不妨設n個連續偶數為2a，2a+2，2a+4，…，2a+2(n-1).

則Sn=2a+2a+2(n-1)2#8226;n=［2a+(n-1)］#8226;n.

令［2a+(n-1)］n=n(n-1)k-1，

則2a+(n-1)=(n-1)k-1，

∴a=(n-1)［(n-1)k-2-1］2.

不難發現，不論n是奇數，還是偶數，只要n為大于2，k為大于2的整數，那么a一定是正整數.故a取(n-1)［(n-1)k-2-1］2時，n(n-1)k-1可以寫成n個連續偶數的和，即命題正確.

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