函數(shù)定義域的求法

函數(shù)是中學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為綱，函數(shù)貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，高考考查內(nèi)容幾乎覆蓋了中學(xué)階段的所有函數(shù)知識(shí)，涉及函數(shù)的所有主要性質(zhì)，而函數(shù)的定義域是函數(shù)的主要性質(zhì)之一，無論是判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，還是求函數(shù)的值域，首先應(yīng)求函數(shù)的定義域.

1定義域

函數(shù)中自變量的取值范圍叫函數(shù)的定義域.

2定義域是函數(shù)的靈魂，因此在研究函數(shù)時(shí)一定要遵循“定義域優(yōu)先”的原則

確定函數(shù)的定義域的原則是：

（1）當(dāng)函數(shù)y=f(x)時(shí)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合；

（2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)是圖像給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指圖像在x軸上投影所覆蓋的實(shí)數(shù)x的集合；

（3）當(dāng)函數(shù)y=f(x)是用解析式給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合；

（4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)是由實(shí)際問題給出時(shí)，則函數(shù)的定義域由實(shí)際問題的意義確定.

3由解析式求函數(shù)定義域的方法

求用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：

（1）若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

例1 求下列函數(shù)的定義域：①y=x2-2x+3;②y=x3+x.

解 ①R. ②R.

（2）若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集.

例2 求下列函數(shù)的定義域：①y=x+12x-3;②y=1x2+x+1.

解 ①由2x-3≠0，得x≠32，

∴函數(shù)的定義域?yàn)閤|x≠32.

②∵x2+x+1=x+122+34＞0，

∴函數(shù)的定義域?yàn)镽.

(3)若f(x)是（偶次）根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子為非負(fù)實(shí)數(shù)的集合，若f(x)是（奇次）根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子為實(shí)數(shù)的集合.

例3 求下列函數(shù)的定義域:

①y=3x+2;②y=35x-1.

解 ①由2x+3≥0，得x≥-23，

∴函數(shù)的定義域?yàn)?23，+∞.

②R.

(4)若f(x)是指數(shù)式，則零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零.

例4 求下列函數(shù)y=(x+1)0|x|-x的定義域.

解 由x+1≠0，|x|-x＞0，得x＜0且x≠-1，

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x＜0且x≠-1｝.

(5)若f(x)是對(duì)數(shù)式，則函數(shù)的定義域是使真數(shù)的式子大于0且底數(shù)大于0并不等于1的實(shí)數(shù)集合.

例5 求函數(shù)y=log(x+1)(2-x)的定義域.

解 由x+1＞0，x+1≠1，2-x>0，得0＜x＜2或-1＜x＜0，

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2）∪（-1，0）.

（6）若f(x)是由n個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.

例6 求函數(shù)y=x2ln(4x+3)+(5x+4)0的定義域.

解 由4x+3＞0，4x+3≠1，5x-4≠0，得x>-34，且x≠-12，x≠45

∴函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

-34，-12∪-12，45∪45，+∞.

(7)分段函數(shù)的定義域是所有定義域的并集.

例7 求函數(shù)f(x)=2x+1(0≤x≤1)，2(1＜x＜3)，2x-1(x≥3)的定義域.

解 此函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

｛x|0≤x≤1｝∪｛x|1＜x＜3｝∪｛x|x≥3｝=｛x|x≥0｝.

(8)若y=f(x)是實(shí)際問題給出時(shí)，則函數(shù)的定義域由實(shí)際問題的意義確定.

例8 如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，且上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出梯形周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域.

解 如圖，AB=2R，C，D在⊙O的半圓周上，設(shè)腰長AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足為E，連接BD，則∠ADB是直角.

∴Rt△ADE∽R(shí)t△ABD.

∴AD2=AB×AE，即AE=x22R，CD=AB-2AE=2R-x2R.

∴y=2R+2x+2R-x2R=-x2R+2x+4R.

又 ∵等腰梯形各線段的長均為正數(shù)，

由x>0，x22R>0，2R-x2R>0，解得0＜x＜2R.

∴y=-x2R+2x+4R的定義域?yàn)椋?，2R）.

（9）求復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的定義域的關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域的理解，若已知y=f［g(x)］的定義域，求f(x)的定義域的實(shí)質(zhì)就是求g(x)的值域，若已知y=f(x)的定義域求y=f［g(x)］的定義域的實(shí)質(zhì)就是讓g(x)的值域與y=f(x)的定義域相同，轉(zhuǎn)化為解不等式.

例9 ①已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，1］，求函數(shù)f(x-1)的定義域;

②已知函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)椋?，2］，求函數(shù)f(x)的定義域.

解 ①由0≤x-1≤1，得1≤x≤2，

∴函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)椋?，2］.

②∵0≤x≤2，∴-1≤x-1≤1.

∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1，1］.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文