分離參數巧求含參函數問題

在導數及其應用這一部分內容中，利用導數這一工具求解函數單調性、極值與最值問題，一直是教學過程中的重點和難點，也是歷年高考考試熱點.

出現含有參數的函數更是學生最為苦惱的問題，很多時候，按照常規的解法，總是忽略了對參數變量的取值范圍的討論，導致經常出現討論不完全、結論不完整的解題過程.更有甚者，一看到含參數的題目，直接跳過去，放棄此題，有破罐子破摔的想法.

對參數的討論是一道坎，是否能夠討論清楚可以反映一名學生在數學學習過程知識的扎實程度.但不是所有的學生都能很好地掌握這一方法.能不能在含參數的某些典型題型中，利用一些方法，繞過對參數的討論呢？

我們通過以下幾個例題來討論含參函數的這一類問題.

例1 已知函數f(x)=x3+2x2+x.若對于任意x∈(0，+∞)，f(x)≥ax2恒成立，求實數a的取值范圍.

解法一 任意x∈(0，+∞)，f(x)≥ax2恒成立，即x∈(0，+∞)，f(x)-ax2≥0恒成立.

∴只需滿足對于任意x∈(0，+∞)，(f(x)-ax2)min≥0 即可.

而f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］，

令g(x)=x2+(2-a)x+1，

則函數g(x)的對稱軸x=a-22.又g(x)過點(0，1)，

①當x=a-22<0，即a<2時，(f(x)-ax2)min≥0滿足條件；

②當x=a-22≥0，Δ≤0時，(f(x)-ax2)min≥0也成立，所以2≤a≤4.

綜合以上，可以知道，當a∈(-∞，4］時，對于任意x∈(0，+∞)，f(x)≥ax2恒成立.

解法二 依題意，得f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］.

由已知x［x2+(2-a)x+1］≥0對于任意x∈(0，+∞)恒成立，∴x2+(2-a)x+1≥0對于任意x∈(0，+∞)恒成立，

即a-2≤1x+x對于任意x∈(0，+∞)恒成立.

∵x>0，∴1x+x≥2（當且僅當x=1時取“=”號），

∴1x+x的最小值為2.

由a-2≤2，得a≤4，所以對于任意x∈(0，+∞)，f(x)≥ax2恒成立時，實數a的取值范圍是(-∞，4］.

點評 解法一把恒成立問題轉化為解二次函數最值問題，思路很明確，只是本題在求解最值問題時，必須在對二次函數圖像有很強的理解能力的基礎上，才能正確的對參數a進行分析、討論.而解法二另辟新徑，提取參數a，用自變量x來表示a，不僅明確了要求解的目標，更是繞過了對參數a的討論，條理清楚，更加容易上手.

例2 已知函數f(x)=ax2+2ln(x+1)，其中a為實數.若f(x)在［2，3］上是增函數，求a的取值范圍.

解法一 依題意，得f′(x)>0對x∈［2，3］恒成立，

∴2ax+2x+1>0，即ax2+ax+1x+1>0.

∵1+x>0，∴ax2+ax+1>0對x∈［2，3］恒成立.

令g(x)=ax2+ax+1，

（1）當a=0時，1>0恒成立；

（2）當a<0時，拋物線g(x)開口向下，可得g(x)min=g(3)>0，即9a+3a+1≥0，∴0>a>-112；

（3）當a>0時，拋物線g(x)開口向上，可得g(x)min=g(2)>0，即4a+2a+1>0，∴a>-16，即a>0.

又 ∵a=-112時符合題意，∴綜上可得a≥-112為所求.

解法二 依題意，得f′(x)=2ax+2x+1.

f(x)>0對x∈［2，3］恒成立，∴2ax+2x+1>0，

∴2ax>-21+x，a>1-x2-x=1-x+122+14.

∵x∈［2，3］，

∴-x+122+14的最小值為-3+122+14=-12，

∴1-x+122+14的最大值為-112.

又 ∵a=-112時符合題意，∴a≥-112為所求.

點評 這是一道很典型的求參數取值范圍的題目，兩種解法各有優劣，解法二依然是利用提取參數a，分離兩個變量，用自變量x來表示a，這樣的話，要求解參數a的取值范圍，就轉化為我們較熟悉的二次函數的最值問題，使問題明朗化.

通過上面兩個例子的分析，我們可以發現，在已知含參數不等式恒成立的前提下，求解參數取值范圍這一類問題，除了直接利用最值求解這一方法外，我們還可以利用分離參數這一方法，根據題意，把含參數不等式轉化為以自變量x來表示參數的不等式，這樣，我們就能夠避免對參數取值范圍的討論，而直接切中題目的關鍵，把題目轉化為求解含有關于變量x的式子的最值問題，而這就可以利用我們熟悉的導數工具來解決了.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文