在幾何畫板中作圓錐曲線切線的幾種方法

【摘要】在幾何畫板中作圓錐曲線的切線對初學幾何畫板的使用者來說是有一定難度的，為解決這個問題，浙江省黃巖中學的趙國藩老師在其論文《在“幾何畫板”中作圓錐曲線的切線》一文中介紹了利用圓錐曲線的光學性質作其切線的方法.在文中他指出在“幾何畫板”中不能直接得到直線與圓錐曲線的交點，而最新的“幾何畫板”5.01版中是可以直接得到交點的，故不用圓錐曲線的光學性質亦可作圓錐曲線的切線.本文將介紹其他幾種作圓錐曲線切線的方法.

【關鍵詞】圓錐曲線；切線；“幾何畫板”

一、在橢圓上一點作切線的幾種常用方法

1在高中數學教科書（北師大版）選修2-1《橢圓》中有一道例題如下：

求證：點M(acosθ，bsinθ)(0≤θ<2π)在橢圓x2a2+y2b2=1上.

此題實際上揭示了橢圓的一種生成方法：作兩個半徑不等的同心圓，在大圓上任意取一點作P，過P作x軸的垂線l，連接OP與小圓交于點A，過A作l的垂線，交點為C，則C的軌跡為橢圓（圖1）.

由此可知橢圓的一種切線作法如下：

①以橢圓的中心O為圓心，長半軸為半徑作圓；

②在橢圓上任意取一點A，并過A點作x軸的垂線交大圓于點B;

③連接OB，并過B點作OB的垂線，交x軸于點C，連接AB，即為過A點的切線（圖2）.

2在文［3］中作者給出了橢圓上一點切線的作法如下：

①過P作x軸的垂線交x軸于點N，以O為圓心、長半軸a為半徑作圓，與直線OP交于點R；

②過點A(a，0)作NR的平行線，交直線OP于點S；

③以O為圓心、線段OS為半徑作圓交x軸于點Q，則PQ為過點P的切線（圖3）.

在橢圓上一點作切線的方法還有很多，以上兩種是比較簡單的作法.

二、利用參數方程作圓錐曲線及切線

1用參數方程作橢圓及切線

作法如下：①新建參數a=2，b=1和函數f(x)=acosx，g(x)=bsinx；

②繪制參數函數f(x)=acosx，g(x)=bsinx(0≤x≤2π)，即畫出方程為x24+y2=1對應的橢圓；

③在橢圓上任意取一點B并分別度量它的橫、縱坐標xB和yB，并計算k=-b2a2#8226;xByB；

④繪制函數y=k(x-xB)+yB的圖像，即為橢圓在點B處的切線.

注 參數a，b的大小可以自由控制，以下參數a，b都是如此.

2用參數方程作雙曲線及切線

作法如下：①新建參數a=2，b=1和函數f(x)=acosx，g(x)=bsinx；

②繪制參數函數f(x)=asecx，g(x)=btanx(-200≤x≤200)，即畫出方程為x24-y2=1對應的雙曲線；

③在雙曲線上任意取一點C并分別度量它的橫、縱坐標xC和yC，并計算k=b2a2#8226;xCyC;

④繪制函數y=k(x-xC)+yC的圖像，即為雙曲線在點C處的切線.

注 類似可作焦點在y軸上的雙曲線的切線.

3用參數方程作開口向上的拋物線及切線

作法如下：①新建參數p=2和函數f(x)=x22p，并繪制函數f(x)；

②在雙曲線上任意取一點D，分別度量它的橫、縱坐標xD和yD，并計算k=xDp；

③繪制函數y=k(x-xD)+yD的圖像，即為拋物線在點D處的切線.

4用參數方程作開口向右的拋物線的切線

作法如下：①新建參數p=2和函數f(x)=t22p，g(x)=t；

②繪制參數函數f(x)=t22p，g(x)=t；

③在拋物線上任意取一點P，分別度量它的橫、縱坐標xP，yP，并計算k=2yP；

④繪制函數y=k(x-xP)+yP，即為拋物線在點P處的切線.

注 類似可以作開口向下、向左拋物線的切線方程.

利用參數方程和隱函數求導在幾何畫板中能比較方便地畫出圓錐曲線的切線，易于初學者掌握.

【參考文獻】

［1］趙國藩.用“幾何畫板”作圓錐曲線的切線.數學學習與研究，2009（9）.

［2］尉貞肆.關于橢圓及其切線的畫法.陜西教育學院學報，1999(2).

［3］劉自敏.橢圓切線的幾何作法.科技信息.

［4］席高文.圓錐曲線切線幾何作圖的充要條件.洛陽師范學院學報，2002(5).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文