數學教學中要重視逆向思維能力的培養

【摘要】逆向思維是數學中的一種重要的思維方式，它對培養學生的創意意識，優化學生的思維品質具有重要的意義，特別是針對目前普高落選的中職學生來說，在數學基礎知識薄弱、基本概念模糊、學習缺乏自信的情況下，更要注意逆向思維能力的培養，本文從逆向思維在數學教學中的作用，逆向思維能力培養的途徑和方法上分別作了闡述.

【關鍵詞】數學教學；逆向思維；中職學生；能力培養

逆向思維是數學中的一種重要的思維方式，從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題，表現為逆用定義、定理、公式、法則，逆向進行推理，反向進行證明.它對培養學生的創意意識，優化學生的思維品質具有重要的意義.特別是針對目前普高落選的中職學生來說，在數學基礎知識薄弱、基本概念模糊、學習缺乏自信的情況下，更要注意逆向思維能力的培養，以此來改變純數學的應試性訓練模式，強化基礎知識和基本方法的教學，為學生在專業課程和生產實踐中應用數學打下扎實的基礎.下面就逆向思維的作用與培養作進一步說明.

一、逆向思維在數學教學中的作用

逆向思維有利于加深對基礎的理解和掌握.在教學實踐中，中職學生基礎知識薄弱，特別是對數學基本概念和基本知識缺乏深刻而全面的理解，沒有掌握其本質特征，在作業中常常出現錯誤和思維障礙.究其原因，是他們不能很好地逆向思考問題，不會逆用定義公式、法則或定理所致.因此，一個數學概念的正確理解，一個運算法則的熟練運用，僅靠正向思維是遠遠不夠的，只有熟練地掌握逆向思維的方法，靈活地運用定義、公式與法則，才能使所學知識更加扎實，融會貫通.

逆向思維有利于開拓學生解題思路，提高分析問題和解決問題的能力.學習數學困難的學生，特別是中職學生經常遇到一些題型打不開思路，無從下手，他們往往習慣于從正面直接解決問題，思維定性，這時若能引導學生改變思維角度，從問題的反面去進行逆向思考，往往會收到意想不到的效果.在教學過程中可以隨時選用或組編逆用思維的問題來訓練逆向思維，如：sin(x+y)sinx+cos(x+y)cosx=.（兩角差的余弦公式的逆用）

逆向思維有利于解題技巧和獨創能力的培養.數學思維的獨創性主要體現在思考問題時，能夠充分發揮觀察、聯想、探索，突破常規，抓住本質，找出獨特的、新穎的解題方法.而逆向思維恰恰是一種擺脫思維定勢，突破舊有的思維框架，產生新思想，發現新知識的重要思維方式.如，求證：方程x2-1983x+1985=0無整數根.由于數字較大，若從正面入手直接求根，則較繁難，但若假定方程有整數根，再利用韋達定理推出矛盾，問題便化難為易.

二、逆向思維能力的培養

逆向思維在數學教學中的作用十分重要，它是當前創新教育中不可忽視的內容之一.那么如何培養學生的逆向思維能力呢？筆者認為可以通過以下途徑和方法加以培養.

充分利用教材中所提供的素材，培養學生逆向思維的意識與自覺性.教學中的許多概念來源于逆向問題或本身存在著互逆關系，例如正負數的概念、指數與對數的概念、曲線與方程的概念等，還有許多的公式、法則、定理都是培養學生逆向思維的好素材.我的具體做法是：

1注意定義的可逆性

作為定義的命題其逆命題總是成立的，這一點在教學中應予以強調.教師在概念教學時，要有意識地設置正反兩方面思維的問題，讓學生練習，逐步使他們養成雙向思維的習慣，同時還可使他們加深對概念的理解.

2注意公式的可逆性

為了防止學生對公式只會單向應用，教師要有意識地精選一些逆用公式和變用公式的習題，來訓練他們的逆向思維.例如，在學了“兩角和的正切公式”之后，為了培養學生逆用公式的能力，可選擇如下習題讓學生練習.

①求值：tan12°+tan33°1-tan12°#8226;tan33°，1+tan75°1-tan75°.

②求證：tan20°+tan40°+3tan20°#8226;tan40°=3.

③在非直角三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanA#8226;tanB#8226;tanC.

④若A+B+C=π2，求證：tanA#8226;tanB+tanB#8226;tanC+tanC#8226;tanA=1.

這種方法用得多了，就會增強學生逆向思維的意識，提高運用逆向思維的自覺性.

3探求定理是否可逆

引導學生探求定理的逆命題正確與否，不僅使學生學到的知識更為完備，且能激發學生去鉆研新知識，是培養學生進行創造性思維R 一種好方法.

例如，學完“直線與平面平行的判定定理”后，可引導學生探求定理逆命題是否正確.即若直線與平面平行，則直線和平面內任何一條直線是否都平行呢？（可能異面，可能平行.）那么直線和平面內怎樣的直線平行呢？需要增加怎樣的條件？（需要構造一個經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.）由此得出直線與平面平行的性質定理.

4對可逆的數學命題，要強化它的逆用

如各種函數圖像的性質、不等式的性質、二次曲線的性質，等等，其中有許多命題可逆，在教學中，教師要適當地選用或組編逆用性質的問題，以提高學生的逆向思維能力.

5注意知識結構的逆向性

很多數學知識在其結構上具有逆向特征，掌握彼此間的互逆關系，常常可以給解題帶來方便，從而開拓思維.例如命題的四種形式每兩者之間的關系是互逆的，因而編擬一些已知逆命題或逆否命題要求學生寫出原命題的習題，可以加深這一概念的理解.又如“曲線上的點坐標”和“曲線的方程”兩者之間的關系，同學們往往只是形式上的理解，對于點在曲線L上，則點的坐標一定滿足曲線L的方程而不善于作逆向處理，如“過圓外一點P（2，3），引圓x2+y2=1的兩條切線，求經過兩切點的直線方程”.很多學生先求出切點坐標，再求出直線方程，顯然很繁.如果善于逆向聯想，則可以得到以下巧妙的解法：設切點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則切線方程為xx1+yy1=1，xx2+yy2=1.又點P在切線上，2x1+3y1=1，2x2+3y2=1，這說明點P1，P2是直線2x+3y=1上的兩點，所以過點P1，P2兩切點弦的直線方程為2x+3y=1，這也就是“設而不求”的解題方法.

充分發揮教師的主導作用，培養逆向思維的靈活性和敏捷性.培養學生逆向思維的靈活性和敏捷性就要充分發揮教師的主導作用，教師要盡力地施展自己潛在的逆向思維能力，要啟發、引導學生分析問題.同時還要教給學生逆向解決問題的辦法，以提高學生逆向解決問題的靈活性和敏捷性.逆向解決問題的方法較多，常用方法有以下幾種：

1當正向思維考慮的情形較多時，而從反面考慮的情況較少時，宜用逆向思維

例1 已知二次函數y=x2+4mx-4m+3，y=x2+(m-1)x+m2，y=x2+2mx-2m中至少有一個函數的圖像與x軸有交點，求m的取值范圍.

分析 三個二次函數的圖像至少有一個函數的圖像與x軸有交點的可能情況有七種，逐一討論很復雜.若從問題的反面去考慮，注意到三個函數的圖像與x軸均無交點的可能情況只有一種，這樣先求m的取值范圍，再從整個實數范圍內去掉這個范圍即可.

2若正向思考難以突破時，宜考慮逆向思維

數學問題的解決過程，一般總是從現有的條件開始分析思考，力圖從正面得到結果，但有些題目按照順向思維方式來尋求解題途徑很難下手.這時要善于引導學生調整思維方式，采取逆向思維策略.

例2 將函數y=Asin(ωx+φ)的圖像作如下變換：

（1）向右平移π8個單位；（2）把所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變；（3）再把所得圖像上各點的縱坐標變為原來的14，橫坐標不變，結果得到函數y=sin4x的圖像，求y=Asin(ωx+φ)的表達式.

分析 該題y=Asin(ωx+φ)是一個待定函數，經過三次移動后的解析式為y=sin4x.如果從正向思維來解題的話，會遇到十分繁雜的過程，這時如果引導學生從逆向y=sin4x出發，推導待定函數y=Asin(ωx+φ)，會得到簡捷的思路.

3執果索因，當我們從已知條件向結論靠攏有一定困難時，我們也可以考慮逆向思維

假定欲證的結論是成立或欲求的結果為已知，由此“執果索因”，問題亦可以化難為易.我們平時所使用的分析法便是一例.如，已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：a＋1a×b+1b≥254.

充分發揮學生的主體作用，培養學生逆向思維的深刻性和創造性.培養學生逆向思維的深刻性和創造性，還要充分發揮學生的主體作用.在習題教學中，要讓學生有充分的時間進行審題，鼓勵他們相互討論，既要讓他們掌握常規的解題方法，更要讓他們通過觀察、聯想，運用逆向思維的方法，把握復雜問題簡單化、一般問題特殊化和正難則反的解題原則，最后得出解決問題的簡捷方法.

例3 已知x2+x+1=0，求x100+x-100的值.

分析 學生思路往往傾向于從已知式子中求出x，再代入式子中進行計算，但在求解過程中會遇到不少障礙，此時，若引導學生對本題條件進行觀察、分析、逆向思考，于是就會想到，在已知式子兩邊同乘以x-1（顯然x≠1），就會得到獨特的解題方法.

解 ∵x≠1且x2+x+1=0，

∴(x-1)#8226;(x2+x+1)=0，∴x3=1.

又 x100=(x3)33#8226;x=x，

∴x100+x-100=x+1x=x2+1x=-1.

總之，逆向思維的培養途徑和方法是多種多樣的，而且涉及其他諸多方面的因素.所以，學生逆向思維能力的養成，并非一朝一夕的事，需要持之以恒地進行培養和訓練.在中等職業學校教育課程改革環境下進行的數學教學，為我們教師提供了對學生進行逆向思維和創新意識的培養更為有利的條件.本著體現“以服務為宗旨，以就業為導向”的辦學方針，遵循培養高素質勞動者的目標，作為中職教師不得不去思考這個問題，并且身體力行的去做.只有這樣，我們新課標中的總目標才能實現.相信一旦學生掌握并能熟練運用以上思考方法，他們考慮問題的思路就會顯得開闊而流暢.這對于他們思維品質的提高，對于他們今后的學習、工作和生活都有著十分重要的意義.

【參考文獻】

［1］李廣全.數學學習與訓練（基礎模塊）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］蘇天輔.形式邏輯［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，1983.

［3］喬家瑞.數學（基礎版）［M］.北京：語文出版社，2005.

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