淺議導數在解決函數問題中的應用

【摘要】導數在解決函數問題中的應用主要體現在：一、求解函數的單調區間和判斷單調性；二、研究導函數和函數圖像的大致形狀；三、已知函數的單調性求解參數問題；四、解決不等式存在和恒成立問題.

【關鍵詞】導數；函數問題解決

導數是高中數學很重要的一個知識點，也是解決許多問題的有力工具，涉及的數學領域很廣，這里主要談談導數在解決函數問題時的應用.

一、求解函數的單調區間和判斷單調性

1由f′(x)>0或f′(x)<0，求函數的增（減）區間

例1 已知函數f(x)=16lnx+x2-12x+11，求函數f(x)的單調區間.

解析 f(x)定義域為(0，+∞)，

f′(x)=2(x2-6x+8)x=2(x-2)(x-4)x，

由f′(x)>0，得x∈(0，2)∪(4，+∞).

由f′(x)<0，得x∈(2，4).

∴f(x)的單調增區間是(0，2)，(4，+∞)，f(x)的單調減區間是(2，4).

例2 函數y=xx-2的單調區間是.

解析 直接對f(x)求導，可以得到f′(x)<0，所以其定義域即為單調減區間：(-∞，2)和(2，+∞).

2由導函數的圖像分析原函數的單調區間

例3 已知函數f(x)的定義域為R，其導函數f′(x)的圖像如圖所示，則函數f(x)的單調增區間為，單調減區間為.

解析 由導函數圖像可以看出，在（-∞，-1）上f′(x)<0，在（1，3）上f′(x)>0，在（3，+∞）上f′(x)<0，所以函數f(x)的增區間為（1，3），減區間為（-∞，-1）和（3，+∞）.由導函數圖像分析函數單調區間，主要根據導函數的符號來確定增減區間.

二、研究導函數和函數圖像的大致形狀

例4 函數y=f(x)在定義域-32，3內可導，其圖像如圖所示，記y=f(x)的導函數為y=f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為().

A-13，1∪［2，3］

B-1，12∪43，83

C-32，12∪［1，2］

D-32，-1∪12，43∪83，3

解析 依題意，當f′(x)≤0時，函數y=f(x)是減函數，由圖像知，x∈-13，1∪［2，3］.

總結 根據導函數圖像可以確定函數的單調區間以及極大值和極小值的符號，根據函數圖像的大致形狀可以確定導數的符號，體現數形結合的思想方法.

三、已知函數的單調性求解參數問題

例5 已知函數f(x)=x3-ax2-3x在區間［1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍.

解析一 f′(x)=3x2-2ax-3.

∵f(x)在［1，+∞）上是增函數，

∴f′(x)在［1，+∞）上恒有f′(x)≥0，

即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立，

則必有a3≤1且f′(1)=-2a≥0， ∴a≤0.

解析二 ∵f′(x)=3x2-2ax-3，

由f′(x)得到其增區間為-∞，a-a2+93，a+a2+93，+∞，要在［1，+∞）上是增函數，即得到a≤0.

解決此類問題的基本方法：(1)增函數得到f′(x)≥0，減函數得到f′(x)≤0，進而求解參數；(2)直接求出函數標準的增(減)區間，根據標準區間的子集進行求解.

四、解決不等式存在和恒成立問題

例6 已知函數f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

解析 由原題，得12x4－2x3＋3m＋9≥0，

即3m≥-12x4+2x3-9.

再對函數g(x)=-12x4+2x3-9求導，

得到其最大值為2，即3m≥2，解得m≥32.

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