不等式恒成立問題與有解問題解題的三點注意

恒成立問題與有解問題是高考中的重點也是難點，它們幾乎貫穿著高中三年的每一次考試.有的學生到高三結束都把握不準這兩類問題的解題思路，其實只要抓住下列三點注意，就能準確地解決這兩類問題.

一、注意分清“是恒成立問題還是有解問題”

例1 （1）若(a-2)x2+(a-2)x-4≤0對任意實數x成立，求實數a的取值范圍；

（2）若存在實數x使得(a-2)x2+(a-2)x-4≤0成立，求實數a的取值范圍.

由（1）中的“任意實數成立”可以看出是一道恒成立問題，我們可以借助于數形結合的方法得a-2>0，Δ≤0或a-2=0.

由（2）中的“存在實數成立”可知(a-2)x2+(a-2)x-4≤0只是部分x成立，因此是一道有解題，我們同樣通過數形結合得到a-2>0，Δ≥0或a-2≤0.

通過上例我們不難發現區分“是恒成立問題還是有解問題”的關鍵是看題干中是對“任意”“所有”還是“存在”“有些”實數成立.

二、注意分清“誰是變量誰是參數”

例2 （1）若(a-2)x2+(a-2)x-4≤0對任意實數x∈(1，3)成立，求實數a的取值范圍；

（2）若(a-2)x2+(a-2)x-4≤0對任意實數a∈(1，3)成立，求實數x的取值范圍.

由（1）中的“任意實數x∈(1，3)成立”可知變量是x，“求實數a的取值范圍”可知參數是a.我們可以把不等式的左邊看成二次函數y=(a-2)x2+(a-2)x-4，只要二次函數在(1，3)的最大值小于等于０即可.我們也可以通過分離參數把不等式變形為a-2≤4x2+x，只要a-2小于等于函數y=4x2+x，x∈(1，3)的最小值即可.

由（2）中“任意實數a∈(1，3)成立”可知變量是a，“求實數x的取值范圍”可知參數是x.因此不等式的左邊可以看成關于a的一次函數g(a)=(x2+x)a-2x2-2x-4，只要g(a)在(1，3)的最大值小于等于０，即g(1)≤0，g(3)≤0.

通過上例可以發現分清“誰是變量誰是參數”在解決這類問題中尤為關鍵.通常題干中已知誰的范圍，誰就是變量，結論中求誰的范圍誰就是參數.

三、注意分清“是同一變量還是不同變量”

例3 已知函數f(x)=x2+x，g(x)=2x2-4x.

（1）對任意的x1，x2∈［0，2］有f(x1)

（2）對任意的x∈［0，2］有f(x)

對于（1）中只要f(x1)max

由上例兩問的解法的完全不同，提醒我們必須分清“是同一變量還是不同變量”，這只需要我們解題時仔細觀察便可.是同一變量時，我們必須通過移項把兩個函數轉化為一個函數.

下面通過兩個實例具體體會上面注意點的運用.

例4 已知函數f(x)=x2+2x，若存在實數t，當x∈［1，m］時，f(x+t)≤3x恒成立，求實數m的范圍.

分析 不等式f(x+t)≤3x等價于(x+t)2+2(x+t)≤3x.首先分清誰是變量誰是參數，從題干中已知x的范圍，所以x是變量，t是參數，并且是任意的x∈［1，m］都有(x+t)2+2(x+t)≤3x成立.因此原命題等價于關于x的二次函數g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t，g(x)≤0在［1，m］上恒成立，結合函數圖像得g(1)≤0，g(m)≤0，解得-4≤t≤0，m2+(2t-1)m+t2+2t≤0.這時再看題干“存在實數t”，問題轉化為：存在實數t∈［-4，0］，使得m2+(2t-1)m+t2+2t≤0成立，求實數m的范圍，即變為：關于t的二次函數h(t)=t2+(2m+2)t+m2-m，h(t)≤0在［－４，０］上有解，求實數m的范圍.接下來結合圖形，按h(t)與x軸在［－４，０］有一解、有兩解分類討論便可求解.

例5 已知f(x)=2x3-9x2+12x，g(x)=lnxx，存在x1∈［-1，1］，使得對于任意的x2∈［1，3］都有f(x1)>g(x2)+k成立，求k的取值范圍.

分析 首先我們發現變量不同，因此可以分別處理.對于變量x1，題干告知“存在x1∈［-1，1］，使得……成立”，因此，對于變量x1來說，是“有解問題”，即f(x1)>……有解，只需要f(x)max>g(x2)+k成立.通過導數可知f(x)在［-1，1］上的最大值為５，即5>g(x2)+k成立.再來看變量x2，題干告知“任意的x2∈［1，3］都有……成立”，因此，對于變量x2來說，是“恒成立問題”，即5>g(x2)+k在［１，３］恒成立，只需要g(x)max<5-k.通過導數可知g(x)在［１，３］上的最大值為1e，故1e<5-k.

通過例4、例5的思路分析，我們發現解決不等式恒成立或有解問題，掌握上述三個注意點至關重要.只要我們把“恒成立”與“有解”分清，“參數”與“變量”分清，“同一變量”與“不同變量”分清，那么所有的恒成立與有解問題都會迎刃而解.

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