用確界定理證明連續函數的兩個重要定理

【摘要】本文用確界定理證明了連續函數的兩個與之等價的重要性質定理——根的存在定理和最大值最小值定理，是一種全新的證明.方法簡單巧妙，不落俗套，避免了傳統的用閉區間套定理證明的啰嗦麻煩，很有參考價值.

【關鍵詞】確界定理；最大值；最小值定理；證明

1根的存在定理

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，并且f(a)f(b)<0，則在區間(a，b)內至少存在一點c，使得f(c)=0.

證明 不妨設f(a)<0，則f(b)>0.由連續函數的局部保號性定理，存在δ>0與δ′>0，使得x∈［a，a+δ)時有f(x)<0，x∈(b-δ′，b］時f(x)>0.

設以a為左端點且使f(x)<0的任一區間為［a，b′)，記所有這樣區間的右端點集合為E，則由x∈［a，b′)時f(x)<0及x∈(b-δ′，b］時f(x>0)知：［a，b′)∩(b-δ′，b］=，從而得到b′≤b-δ′<0.于是E有上界，由確界定理E有上確界，記supE=c，則必有f(c)=0，且x∈［a，c)時f(x)<0.

若f(c)≠0，又由連續函數的局部保號性定理，存在δ1>0，使得x∈(c-δ1，c+δ1)時，f(x)與f(c)同號.

若f(c)<0，則在(c-δ1，c+δ1)內有f(x)<0.又在［a，c)內f(x)<0，所以在［a，c)∪(c-δ1，c+δ1)=［a，c+δ1)內f(x)<0，從而在閉區間a，c+δ12上每一點有f(x)<0.這與c是使f(x)<0所有區間［a，b′)的右端點集合E的上界相矛盾.

若f(c)>0，則在(c-δ1，c+δ1)內有f(x)>0，從而在(c-δ1，c)內f(x)>0.據此及a

在上面證明第一段的基礎上，也可設以a為左端點且使f(x)<0的任一區間為［a，b′)，記所有這樣的區間長度構成的集合為E，由于d∈E，有d≤b-a，所以E有界.由確界定理E有上確界，記為r…可以證明c=a+r.證明留給讀者.

2最大值最小值定理

設函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，則f(x)在該區間上必有最大值和最小值.

證明 只就最大值的情況予以證明，最小值同理.

因為f(x)在閉區間上連續，所以f(x)在［a，b］上有界.設在區間［a，b］上f(x)的值域為E，則E有界.由確界定理E有上確界，設supE=M.只要證明M∈E，便有fmaxx∈［a，b］(x)=M.

由于supE=M，由上確界的定義，對y∈E，有y≤M，且ε>0，y0∈E，使得y0>M-ε.這樣，便有y0∈E，M-ε<y0

另一方面，n∈N，由yn∈E，知道xn∈［a，b］，使得yn=f(xn).由于xn∈［a，b］，所以{xn}有界.由致密性定理知{xn}必存在收斂子列{xnk}，設limk→∞xnk=x0.又由{xnk}［a，b］及［a，b］是閉集知x0∈［a，b］，又由f(x)在閉區間上連續得

M=limn→∞yn=limk→∞ynk=limk→∞f(xnk)=f(limk→∞xnk)=f(x0)∈E.

故有fmax(x)=M.

【參考文獻】

［1］陳傳璋，等.數學分析［M］.人民教育出版社，1979.

［2］劉玉璉，等.數學分析講義［M］.高等教育出版社，2003.

［3］記樂剛.數學分析［M］.華東師范大學出版社，1993.

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