積分上限函數的進一步探討

【摘要】利用積分上限函數的主要結論，得到積分上限函數的幾個推廣形式，進而介紹它們的運用.

【關鍵詞】積分上限函數；求導；奇（偶）函數；周期函數

積分上限函數F(x)=∫xaf(t)dt的自變量是上限變量x，在求導時，是關于x求導，但在求積分時，則把x看作常數，積分變量t在積分區間［a，x］上變動.弄清上限變量和積分變量的區別是對有關積分上限函數問題進行正確運算的前提.

一、積分上限函數的主要結論

(1)如果f(x)在［a，b］上可積，則F(x)=∫xaf(t)dt在［a，b］上連續.

(2)如果f(x)在［a，b］上連續，則F(x)=∫xaf(t)dt在［a，b］上可導，且F′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x).

從以上兩個結論可以看出，對f(x)作上限積分后得到的函數，性質比原來的函數改進了一步：可積改進為連續，連續改進為可導.這是積分上限函數的良好性質.而我們知道，可導函數f(x)經過求導后，其導函數f′(x)甚至不一定是連續的.

(2)也稱為原函數存在定理.它說明：閉區間上的連續函數一定存在原函數，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數.我們知道，求原函數是求導運算的逆運算，本質上是微分學的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學的問題.結論（2）把兩者聯系了起來，從而使微分學和積分學統一成為一個整體.

(3)ddx∫bxf(t)dt=-f(x).

(4)ddx∫φ(x)af(t)dt=f［φ(x)］φ′(x).

(5)ddx∫ψ(x)φ(x)f(t)dt=f［ψ(x)］ψ′(x)-f［φ(x)］φ′(x).

二、積分上限函數的推廣

1如果F(x)=∫x0(x-t)f(t)dt，則F′(x)=∫x0f(t)dt.

證明 F(x)=∫x0xf(t)dt-∫x0tf(t)dt=x∫x0f(t)dt-∫x0tf(t)dt，再對x求導得F′(x)=∫x0f(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫x0f(t)dt.

2如果F(x)=∫x0tf(t-x)dt，則F′(x)=∫0-xf(t)dt.

證明 設u=t-x（把x看作常數），此時，dt=du，t=0時，u=-x；t=x時，u=0，于是F(x)=∫0-x(x+u)f(u)du=x∫0-xf(u)du+∫0-xuf(u)du，然后對x求導得F′(x)=∫0-xf(t)dt.

3如果F(x)=∫10f(xt)dt，則F′(x)=xf(x)-∫x0f(t)dtx2.

證明 設u=xt（把x看作常數），此時，dt=dux，t=0時，u=0；t=1時，u=x，于是F(x)=1x∫x0f(u)du，然后對x求導得F′(x)=xf(x)-∫x0f(t)dtx2.

4設F(x)=∫x0f(t)dt.如果f(x)是奇函數，則F(x)是偶函數；如果f(x)是偶函數，則F(x)是奇函數.

證明 如果f(x)是奇函數，則f(-x)=-f(x).從而F(-x)=∫-x0f(t)dtt=-u∫x0f(-u)d(-u)=∫x0(-f(-u))du=∫x0f(u)du=F(x)，即得F(x)為偶函數.

同理，如果f(x)是偶函數，則F(x)是奇函數.

5如果f(x)是周期為T的周期函數，且∫T0f(x)dx=0，則F(x)=∫x0f(t)dt也是周期為T的周期函數.

證明 由條件得∫x+Txf(t)dt=∫T0f(x)dx=0，則F(x+T)=∫x+T0f(t)dt=∫x0f(t)dt+∫x+Txf(t)dt=F(x)+∫T0f(t)dt=F(x)，即得F(x)為周期為T的周期函數.

三、運用舉例

1極限問題

例1 求limx→0∫x20sin32tdt∫x0t(t-sint)dt.

利用洛必達法則及等價無窮小量得所求極限為12.

例2 已知極限limx→01ex-bx+a∫x0sintt+cdt=1，試確定其中的非零常數a，b，c.

由極限類型，得a=-1.再由洛必達法則，得b=1，c=1.

2求導問題

例3 已知x=∫t0(1-cosu)du，y=∫t0sinudu.求dydx.

用參數方程所決定函數求導方法，得dydx=sint2t(1-cost).

例4 已知∫y0etdt+∫xy0costdt=0.求dydx.

用隱函數求導方法，得dydx=-ycos(xy)ey+xcos(xy).

例5 求ddx∫x0cos(x-t)2dt.

類似2，設x-t=u，∫x0cos(x-t)2dt=∫x0cosu2du，ddx∫x0cos(x-t)2dt=cosx2.

3極值、最值問題

例6 求f(x)=∫x12lntdt的極值.

f′(x)=lnx，令f′(x)=0，得駐點x=1.又f″(1)=1>0，得極小值12(ln2-1).

例7 在區間［1，e］內求一點ξ，使得圖中所示的陰影部分的面積和S最小.

S=∫ξ1lnxdx+∫eξ(1-lnx)dx=2ξlnξ-3ξ+e+1，S′=2lnξ-1，令S′=0，得唯一駐點ξ=e.

4積分問題

例8 計算∫10xf(x)dx，其中f(x)=∫x21sinttdt.

用分部積分公式，得∫10xf(x)dx=x22∫x21sinttdt10-∫102sinx2dx=12(cos1-1).

例9 設函數f(x)可導，且滿足f(x)=x+∫x0(x-t)f′(t)dt，求f(x).

對題中等式兩邊求二階導數，再解二階常系數線性齊次微分方程f″(x)-f′(x)=0滿足初始條件f(0)=0，f′(0)=1的解得f(x)=ex-1.

5證明問題

例10 證明：∫1x11+x2dx=∫1x111+x2dx.

證明時令u=1x即可.

例11 設f(x)，g(x)在［a，b］上連續.求證:存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫bξg(x)dx=g(ξ)∫ξaf(x)dx.

令F(x)=∫xaf(t)dt#8226;∫bxg(t)dt.對F(x)在［a，b］上用Rolle定理即可證得結論.

例12 設f(x)在(-∞，+∞)內連續，F(x)=∫x0(x-2t)f(t)dt.證明：如果f(x)是偶函數，則F(x)也是偶函數.

證明方法類似4，在討論F(-x)時令u=-t即可.

【參考文獻】

［1］邵劍，李大侃.高等數學專題梳理與解讀［M］.上海：同濟大學出版社，2008.

［2］劉玉璉，等.數學分析講義［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］楊天明.高等數學［M］.南京：南京大學出版社，2009.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文