平面向量基本定理的推廣及應用

平面向量特別是平面向量基本定理是歷年高考常考的內容，筆者從2006年湖南的一道高考題出發談談該定理的推廣及應用.

圖 1

例1 (2006年湖南高考題)如圖1，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且OP=xOA+yOB，則x的范圍是.當x=-12時，y的取值范圍.

由平面向量基本定理可得到如下結論:

推論1 已知向量OA，OB，OP不共線，則A，B，P三點共線的充要條件為存在唯一一組實數x，y，使得OP=xOA+yOB且x+y=1.

圖 2

注意到將圖1中直線OB，OA，AB延長，則直線OB，OA，AB把平面分成七個區域，如圖2，由此還可得到如下結論：

結論（1） 若點P落在①區域（不含邊界），則0

結論（2） 若點P落在②區域（不含邊界），則x，y>0，且x+y>1.

結論（3） 若點P落在③區域（不含邊界），則x<0，y>1，且x+y>1.

結論（4） 若點P落在④區域（不含邊界），則x<0，y>0，且x+y<1.

結論（5） 若點P落在⑤區域（不含邊界），則x<0，y<0.

結論（6） 若點P落在⑥區域（不含邊界），則x>0，y<0，且x+y<1.

結論（7） 若點P落在⑦區域（不含邊界），則x>1，y<0，且x+y>1.

結論(1)證明 設x+y=t，則xt+yt=1，∵1tOP=xtOA+ytOB，記OQ=1tOP，∴OQ=xtOA+ytOB.由推論1，得Q在直線AB上.又OP=tOQ，P在△ABC內部，∴|OP|<|OQ|，即|t||OQ|<|OQ|，∴|t|<1.又xOA與OA同向，yOB與OB同向，∴x>0，y>0，t>0.

又|xOA|<|OA|，|yOB|<|OB|，∴0

同理可證結論(2)，(3)，(5)，(7).

結論(4)證明 ∵OP=xOA+yOB，由P的位置知x<0，y>0，∴OB=1yOP-xyOA.連接AP，點B在直線AP的上方，由結論（2）知1y-xy>1，∴x+y<1.同理可證結論(6).

利用上面結論解例題1，如下:

解 如圖1，過P作OB，OA平行線，xOA與OA反向，可得x<0.

當x=-12時，取OC=12OA，過C作CD∥OB交OM于Q，過Q作QE∥OA交OB于E.

∴OQ=-12OA+12OB，此時x+y=0.∵P在QD之間運動，由結論（4）知0

例2 （2009年安徽高考題）給定兩個長為1的平面向量OA，OB的夾角為120°，若點P在以O為圓心的圓弧AB上運動，設OP=xOA+yOB，則x+y的最大值為，最小值為.

解 連接AB，取圓弧AB的中點D，過D作A′B′∥AB交OA，OB于A′，B′.點P在圓弧AB上運動相當于在四邊形ABB′A′內運動.

當P與A或B重合，此時x+y達到最小值，由推論1知x+y=1.

當P與D重合，OP=OA+OB，此時x+y達到最大值，x+y=2.

當P在圓弧BD或圓弧AD上，即在△OA′B′內部，設OP=mOA′+nOB′，由結論(1)知0

變式 正六邊形ABCDEF邊長為1，P是△CDE內（包括邊界）的動點，設AP=xAB+yAF，求x+y的取值范圍.

解 過D作直線NH∥CE交AF，AB的延長線于H，N.延長CE交AF，AB于G，M.

點P在△CDE內（包括邊界）運動相當于在四邊形MNHG內運動.

設AP=mAN+nAH，由推論1和結論(1)知0

設AP=λAM+μAG，由推論1和結論(2)知λ+μ≥1.由題意得AM=3AB，AG=3AF，∴AP=3λAB+3μAF，∴x+y=3(λ+μ)≥3，∴3≤x+y≤4.

由平面推廣到空間也可得到類似的結論:

推論2 如圖3，空間不共線三點A1，B，D和平面A1BD外一點A，若P在平面A1BD內，則存在一組實數x，y，z，使得AP=xAB+yAD+zAA1且x+y+z=1.

由推論2出發還可推出以下兩個結論:

結論1 若P在四面體A1BDA內(不含邊界)，則0<x<1，0

圖 3

結論2 如圖3，已知平面MNQ∥平面A1BD，且AQ=kAA1，AM=kAB，AN=kAD.

若P落在②區域（包括邊界），則x，y，z>0，且1≤x+y+z≤k.

結論1 證明與結論（1）的證法一樣，留給讀者證明.

結論2證明 設x+y+z=t，則xt+yt+zt=1.

∵記AQ=1tAP，∴AQ=xtAB+ytAD+ztAA1.

由推論2，得Q在平面A1BD內.又AP=tAQ，∵P在平面A1BD外的②區域內，∴|AP|>|AQ|，|t||AQ|>|AQ|，∴|t|>1，xAB與AB同向，yAD與AD同向，zAA1與AA1同向.

∴x>0，y>0，z>0，t>0，∴x+y+z≥1.

當P在平面MNQ內時，設AP=x1AQ+y1AM+z1AN，且x1+y1+z1=1.由已知得AP=x1kAA1+y1kAB+z1kAD，

∴x+y+z=k(x1+y1+z1)=k，而P落在②區域內，

∴1≤x+y+z≤k.

例3 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，過點A的三棱長為1，E是CC1中點.

(1)設AP=xAB+yAD+zAA1，若P在四面體A1BDA內(包含邊界)運動，且z=13，求x+y的取值范圍.

(2)設AP=xAB+yAD+zAA1，若P在四面體C1B1D1C內(包含邊界)運動，求x+y+z的范圍.

(3)若AE交平面A1BD于G，求證:AG=25AE.

解 （1）由推論2和結論1，得x+y≥0，且0

（2）當P在平面CB1D1內(包含邊界)運動時，x+y+z達到最小值且在平面CB1D1內任何位置x+y+z的值都相等.∴取P與C重合，可得AP=AB+AD+0AA1，∴x+y+z達最小值為2.

過C1可作一個平面α平行于平面A1BD，在平面α內取P與C1重合，可得AP=AB+AD+AA1，在平面α內任何位置x+y+z的值都相等且都達到最大，∴x+y+z的最大值為3.

由結論2，可得2≤x+y+z≤3.

（3）∵AE=AB+AD+12AA1，設AG∶GE=t.

設AG=xAB+yAD+zAA1，且x+y+z=1，

∴AG=tt+1AE=tt+1(AB+AD+12AA1)，

∴x+y+z=2tt+1+t2t+2=1，∴t=23，∴AG=25AE.

平面向量的基本定理是向量一章中最重要的定理，理解定理的推廣及應用有助于更好地解決高考中的向量題，本文旨在此方面給大家啟示.

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