矩陣方法的幾個應用

【摘要】文章給出了矩陣在線性方程組、多項式、平面直線、二次曲面幾個問題中的應用，利用矩陣的方法可以方便地解決以上問題.

【關鍵詞】矩陣；線性方程組；多項式；平面直線；二次曲面

矩陣是由m×n個數排成的m行n列的數表.矩陣的應用非常廣泛，比如：企業生產進度表、銷售統計表，經濟、科研問題中的數據分析表，等等.矩陣的重要作用首先在于它不僅能把頭緒紛繁的事物按一定的規則清晰地展現出來，使我們不至于被一些表面看起來雜亂無章的關系弄得暈頭轉向；其次在于它能恰當地刻畫事物之間的內在聯系，并通過矩陣的運算或變換來揭示事物之間的內在聯系；最后在于它還是我們求解數學問題的一種特殊的“數形結合”的途徑.本文通過舉例探討了矩陣方法在代數、幾何問題中的幾個應用，努力使大家對矩陣有一個更全面的了解.

一、矩陣方法在代數問題中的應用

1線性方程組問題

對線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，am1x1+am2x2+…+amnxn=bm，(1)

若記A=a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn，X=x1x2xn，B=b1b2bm，則利用矩陣的乘法，線性方程組(1)可表示為矩陣形式：

AX=B，(2)

其中A稱為方程組(1)的系數矩陣，方程組(2)稱為矩陣方程.

將線性方程組寫成矩陣方程的形式，可以把線性方程組理論與矩陣理論聯系起來，便于解決問題.矩陣成為研究線性方程組的一個重要工具，在解決線性方程組的以下幾個問題中起到了重要作用：(1)判斷線性方程組解的情況：無解、有唯一解、有無窮多個解；(2)給出線性方程組解的結構；(3)求解線性方程組.

例1 討論λ取何值時，線性方程組

λx1+x2+x3=1，x1+λx2+x3=λ，x1+x2+λx3=λ2無解、有唯一解、有無窮多個解，并在有無窮多解的情況下求解.

解 先計算系數矩陣的行列式

|A|=λ111λ111λ=(λ+2)(λ-1)2.

(1)當λ≠1且λ≠-2時，|A|≠0，由克萊姆法則，線性方程組有唯一解.

(2)當λ=-2時，

=-21111-21111-21→10-1001-100001，

因為2=R(A)≠R()=3，所以原方程組無解.

(3)當λ=1時，

=111111111111→111100000000，

因為R(A)=R()=1<3(未知數的個數)，所以原方程組有無窮多個解.寫出與原方程組同解的方程組：x1+x2+x3=1，取x2，x3為自由未知量，將x2，x3移到方程組x1+x2+x3=1的右邊，得到x1=1-x2-x3.令x2=p，x3=q(p，q為任意實數)，則原方程組的全部解為x1=1-p-q，x2=p，x3=q，或x1x2x3=p-110+q-101+100(p，q為任意實數).

2多項式問題

討論n次多項式根的相關問題(如根的取值、根的個數等)，可以利用矩陣及行列式進行.

例2 設f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn，證明：若f(x)有n+1個互不相同的根，則f(x)是零多項式.

證明 設a1，a2，…，an+1為f(x)的n+1個互不相同的根，則由f(ai)=0(i=1，2，…，n+1)，得線性方程組

c0+a1c1+…+an1cn=0，c0+a2c1+…+an2cn=0，c0+an+1c1+…+ann+1cn=0，

它是關于c0，c1，…，cn的齊次線性方程組.其系數行列式Dn+1=∏n+1≥i>j≥1(ai-aj)≠0，故由克萊姆法則知：齊次線性方程組只有唯一的零解，即c0=c1=…=cn=0，故f(x)=0，即f(x)是零多項式.

二、矩陣方法在幾何問題中的應用

1平面直線問題

對平面上不同直線的交點問題(如交點坐標、交點個數等)，可以建立方程組進行討論，進而轉化為對相應矩陣問題的討論.

例3 證明平面上三條不同的直線ax+by+c=0，bx+cy+a=0，cx+ay+b=0相交于一點的充分必要條件是a+b+c=0.

證明 首先由條件“三條不同的直線”知a，b，c不能同時為0，且a，b，c與b，c，a與c，a，b不能對應成比例，即ab≠bc≠ca.

三條不同的直線ax+by+c=0，bx+cy+a=0，cx+ay+b=0相交于一點非齊次線性方程組ax+by=-c，bx+cy=-a，cx+ay=-b有唯一解r(A)=r()=2r(AT)=r(T)=2，其中AT=abcbca，T=abcbca-c-a-b .

而T初等變換abcbcaa+b+ca+b+ca+b+c=B，

易知，r(AT)=r(T)=2矩陣B中非零行的行數等于2a+b+c=0.

2判斷曲面類型

三元二次方程F(x，y，z)=0所表示的曲面稱為二次曲面.二次曲面有九種：橢圓錐面、橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面.適當選取空間直角坐標系，可以得到標準方程，進而判斷曲面類型.問題是這種方法有時難于操作，不利于解決問題.利用“正交變換化二次型為標準型”的方法，可以容易地判斷二次曲面的類型.

例4 判斷方程x21+2x22+x23-2x1x3=1表示何種二次曲面.

解 (1)寫出二次型f=x21+2x22+x23-2x1x3的矩陣

A=10-1020-101 .

(2)求其特征值：由|λE-A|=0，解出A的特征值λ1=0，λ2=λ3=2.

(3)求特征向量：將λ1=0代入(λE-A)X=0，得基礎解系ξ1=(1 0 1)T.將λ2=λ3=2代入(λE-A)X=0，得基礎解系ξ2=(-1 0 1)T，ξ3=(-1 1 1)T.

(4)將特征向量單位正交化，得η1=12 0 12T，η2=-12 0 12T，η3=(0 1 0)T.作正交矩陣Q=(η1 η2 η3).

(5)經過正交變換X=QY，原二次型化為標準型f=2y22+2y23，從而二次曲面方程可化為2y22+2y23=1，易知其表示橢圓柱面.

三、結 語

本文探討了矩陣方法在代數、幾何問題中的幾個應用，利用矩陣理論可以方便地轉化問題、解決問題.矩陣方法在解決傳統數學問題中發揮了重要作用，值得我們繼續研究與探討.

【參考文獻】

［1］吳贛昌.線性代數(經管類#8226;第三版)［M］.北京：中國人民大學出版社，2009.

［2］同濟大學數學系.線性代數［M］.北京：清華大學出版社，2007.

［3］同濟大學應用數學系.高等數學(第五版)［M］.北京：高等教育出版社，2002.