微積分在不等式證明中的應用

【摘要】不等式證明是數學學習中的一個難點.在不等式的許多證法中，往往需要較高的技巧.利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低.本文主要探討的是運用微積分的知識證明不等式的基本方法.

【關鍵詞】不等式；微積分；中值定理；泰勒公式

不等式是數學課程的重要內容，它反映了各變量之間很重要的一種關系，在解各類方程、有關函數的問題、三角證明、幾何證明等許多方面都有廣泛的應用.在不等式的初等證法中，往往需要較高的技巧，而利用微積分學中的微積分思想可以使不等式的證明思路變得簡單，技巧性降低.本文主要探討使用函數的單調性、微分中值定理、泰勒公式、極值判定定理等微積分的知識來證明不等式的一些基本方法.

1.利用函數的單調性

利用函數單調性來證明不等式時，往往要引入適當的輔助函數將不等式問題轉化成比較兩個函數值的大小，若要比較兩個函數值大小，只要將不等式兩邊的式子相減或相除就可以得到所需的輔助函數；另外不能忘了端點值.當遇到一階求導無法判斷符號時可用二階導數來判斷函數的符號.

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