也談數學選擇題解法

選擇題具有題小面廣、解法靈活、評閱客觀等特點，因而是一種具有良好信度和效度的題型.數學選擇題通常限定為單項選擇以確保答案的唯一性，學生可應用排除、遞推、分析、驗證等非直接方法進行求解，不僅可以提高解題效率，而且對培養學生分析、判斷及推理等邏輯思維能力有一定積極意義.

一、選擇題的構成

從結構來看，數學選擇題主要由兩部分組成：題干和選擇項.從形式上看，數學選擇題可分為：發散性、收斂性和平行性.發散性題目的題干是條件，選擇項是可能的結論.收斂性題目的題干是結論，選擇項是要得到結論所必須具備的條件.平行型題目由多個條件和多個結論組成，要求找出條件和結論之間的對應聯系，以構成正確的命題.

二、解題策略分類

各種參考資料對數學選擇題的解法進行詳細而繁雜的介紹，本文從選擇題的三種形式出發，認為選擇題只需劃分為以下六種.

發散性題目要求解題者從題干出發，充分解讀題干中的信息，調用所學概念、公式及定理，正確解答題目.這類題型包括直接法和特例法兩種.

（一）直接法

直接法是從題設出發，運用相關概念、性質及法則，通過推理和運算，直接得出符合題意的結論，再對照選擇項選擇正確答案.直接法幾乎適用于所有的選擇題，但對于一些構思新穎的題目，采用直接法未必能夠有效地解決.

例1 兩圓的半徑分別是R和r(R>r)，圓心距為d，若關于x的方程x2-2rx+(R-r)2=0有兩個相同的實數根，則兩圓的位置關系是().

A.一定相切B.一定外切

C.相交D.內切或外切

分析 由方程x2-2rx+(R-r)2=0有兩個相同的實數根，可知Δ＝0，

即4r2-4(R-r)2=0，解得r=|R-d|.

若r=R-d，則d=R-r，兩圓內切；

若r=-(R-d)，則d=R+r，兩圓外切.

故正確選項為D.

（二）特例法

特例法就是選取滿足題設的特殊情況，如特殊的值、點、角度、位置、函數、圖形等來代替一般情況，經過計算、判斷或推理得出結論.事實上，特殊法的邏輯順序仍然是從題設開始，要求所找的例子必須滿足題設的條件.它所解決的是一類具有一般性結論的命題，因而可以用“例”來代替，另外，為了體現特殊法的優越性，例子必須要易于推理和判斷，才能稱其為“特”.

例2 定義在區間（-∞，﹢∞）的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間［0，+∞）的圖像與f(x)重合，設a>b>0，給出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)

A.①與④B.②與③

C.①與③D.②與④

分析 令f(a)=x，g(x)=|x|，a=2，b=1，則f(b)-f(-a)=1-（-2）=3，g(a)-g(-b)=2-1=1，可知①式正確；同理，f(a)-f(-b)=2-（-1）=3，g(b)-g(-a)=1-2=-1，可知③式成立，故選C.

收斂性題目的邏輯起點是選擇項，解題者通過選擇項之間的關系和答案唯一性的特點，避開對題設信息的缺失性把握，仍然可以得出滿足題設的結論，從而作出正確選擇.這類題型包括邏輯分析法和代入驗證法兩種.

（三）邏輯分析法

邏輯分析法是通過對四個選項之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤項、肯定正確項的方法.尤其適用于一些條件對等，選項相互包含的題目.一些所謂的“巧解”策略，正是用邏輯知識解題的體現.

例3 在△ABC中，sin2A=sin2B，則此三角形是().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

分析 從備選項看，A，B，D三個選項中概念的外延包含在選項C概念的外延里面.若選項A等腰三角形成立，則選項C等腰或直角三角形也成立；同理選項B成立，則選項C成立；若D成立，則C也成立.因為正確答案有且只有一個，所以正確答案只能是外延最廣的選項C.

（四）代入驗證法

代入驗證法是典型的收斂性題目，通過將選擇項分別作為條件，去驗證命題真假，確定滿足題設的選擇項，從而得出正確的結論.一般適用于選擇項都是數值的題目.

例4 方程log(x+2)(4x+5)-log4x+5(x2+4x+4)-1=0的解集是().

A.{1}B.{1，-1}

C.1，-94D.1，-1，-94

分析 本題若用常規思路求解需要學生通過換底公式將對數的底數統一，然后用對數的運算法則計算求解.這種思路完整詳盡地展現了求解集的全過程，但因選擇題對推算過程沒有要求，是否可以采用其他更為快速的解法呢？為了避免大量運算和高錯誤率的出現，可將選項逐一代入驗證方程.通過觀察，將x=-1，y=-49分別代入方程驗證，均不滿足方程，故選A.因此，在代入驗證中的過程中，一經出現正確備選項，學生就可依據“四選一”的要求大膽作出判斷.

平行型題目不是純粹地從題干推出選擇項或從選擇項推至題設，而是部分地將題設和選擇項結合分析和判斷，利用推理、估算、排除等方法，得出正確結果.這類題型包括篩選法和數形結合法兩種.

（五）篩選法

篩選法又稱排除法.要求先從題設條件出發，運用公式、定理和性質推演，再根據選擇項“四選一”的要求，逐步去掉干擾項，從而得出正確結果.當題設條件多于一個時，先根據某些條件去掉選擇項中與之矛盾的干擾項，再根據其他條件在剩余的選擇項中去掉與之矛盾的項，直至得出正確答案.這種方法適用于定性型或不易直接求解的題目，具體操作就是不斷在題設和選項之間推斷分析，借助單項選擇題的特殊結果求解，從而避免直接求解的困難.

例5 設△ABC的三邊a，b，c滿足等式acosA+bcosB=ccosC，則此三角形一定是().

A.以a為斜邊的直角三角形

B.以b為斜邊的直角三角形

C.等邊三角形

D.其他三角形

分析 觀察題設條件發現，題干是關于a，∠A與b，∠B的對稱式，所以選項A、選項B是等效的，即可排除；假設選項C正確，則∠A=∠B=∠C=60°，a=b=c，得2=1不成立，故選D.

（六）數形結合法

根據題設作出所研究問題的曲線或圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確選擇的方法叫做數形結合法，又稱圖解法.誠如華羅庚先生所說，“數缺形時少直觀、形缺數時難入微”，數形結合方法不僅是解決選擇題的有力工具，也是解決其他數學問題的有效策略.但在選擇題中使用數形結合的方法也有它自身的優點，學生往往只需作出足以判斷選項的草圖即可，這樣既避免了精確作圖的要求，也避免的數的推導和運算.

例6 在圓x2+y2=4上與直線4x+3y-12=0距離最小的點的坐標是().

A.85，65

B.85，-65

C.-85，65

D.-85，-65

分析 根據題設作出符合要求的圓和直線的草圖可知，圓到直線距離最小的點在第一象限，比較選項可知，只有選項A符合條件.本題充分利用直觀圖形和選項的設置，避免了“小題大做”，迅速得出了正確選項.

通過上述分析可知，數學選擇題命題靈活，因題而異，因而解法巧妙，各具特色.根據選擇題的不同形式，各種解法也是有章可循的，因此在做選擇題時，選擇了恰當的解法不僅可以獲得正確的結果，還能迅速提高解題效率，有時甚至可以避免因對題干信息的缺失性把握而造成的求解困難.當然，這些解法不是固定單一的，它們之間相互補充，共同作用，在求解時，將不同的解法結合在一起，可以使求解過程變得更簡捷、準確.

【參考文獻】

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［2］茹潔霞.怎樣速解數學選擇題.數學通訊.2003，2（4）.

［3］李書杰 郭金梅.高中數學選擇題解法例析.教育實踐與研究.2000，8.

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