函數教學探究的實例述評

【摘要】學生普遍反映函數最難學，抽象，不具體.由此，與教學實踐結合，提取函數的“框架”，化抽象為具體，化“無形”為“有形”，脫離函數自變量的約束，提高學生對函數抽象性的理解，開拓數學的整體思維，對中等數學、高等數學的函數學習都有很大的幫助.

【關鍵詞】數學學習效率；函數；實踐.

一、提取函數的“框架”，化抽象為具體，化“無形”為“有形”

學生在學習函數時，往往受函數解析式f(x)中x的束縛，將變量的形式進行變化以后，往往混淆不清，無從下手.函數難學與學生所處年齡階段的思維結構也有關系.科學研究得出結論，少年期或初中階段主要是以經驗型為主的抽象邏輯思維；青年初期或高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維.初中起點五年制專科層次學生的入學年齡一般都是15~16歲，年齡小，抽象思維能力還不夠強，對數學的理解大多停留在表面，依賴形象、直觀的問題展示方式.在這批學生函數的教學實踐中，筆者提出了函數“框架”的概念.

何為函數框架？通俗地說，就是在一個函數當中，將自變量“捂住不看”，用括號代替，其他運算不變，即可看為是一種框架或者結構.如：f(x)=sin3x的框架為f( )=sin3()，即對自變量先擴大3倍，再求正弦值.又如，f(x)=sin3x+π4的框架為f( )=sin3( )+π4等.等式左右兩邊括號里“放”的東西要一樣.

二、函數框架是教學中有指導意義的思想方法

1.運用函數框架有助于逆向思維的培養

數學歸納法第三步的證明可以用函數框架對應來解決.

如用數學歸納法證明：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.

證明 第三步：當n=k+1時，

12+22+32+…+k2+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2.

在n(n+1)(2n+1)6的框架中用k+1代替n，即要證明

k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2

=(k+1)(k+1+1)［2(k+1)+1］6

=(k+1)(k+2)(2k+3)6.

比較框架，16和k+1是共同的因式，

則將k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2先通分，提出16(k+1)，剩下的部分應該與(k+2)(2k+3)相等，則做一次因式分解即可.這樣就得到了證明.公式13+23+33+…+n3=［n(n+1)］24也可用同樣的方法很容易得到證明.

2.“框架式”對應的思想促進了數學中“整體思想”的形成和運用

運用一：初學階段幫助學生求函數周期并理解其意義.

等式f(x+T)=f(x)左右兩邊應該是具有相同的函數結構.即將x和x+T用括號代替以后，就完全一樣，此時T是函數的周期.

如：cosx=cos(x+2π)，兩邊的框架都為f( )=cos( )，函數y=cosx周期為2π，那么，f(x)=cos2x的周期為什么是π呢？從函數框架的角度可以這樣給學生解釋：

因為f(x)=cos2x的框架為f( )=cos2( )，所以求周期時最后也要化成這種框架的形式，因此cos2x=coss(2x+2π)=cos［2(x+π)］，即將x+π代替x，函數值不變.所以π是f(x)=cos2x的周期.同樣的方法可得，求f(x)=cos2x+π4的周期時，應該要保留框架f( )=cos2( )+π4.故cos2x+π4=cos2x+π4+2π=cos2(x+π)+π4，對比可得π是周期.由此可以進一步得出f(x)=cos(ωx+φ)（ω>0）的周期是Ｔ＝2πω.

運用二：復合函數求導數.

在高等數學中，復合函數求導數的步驟學生往往出現遺漏，或者分不清求導的先后順序.在此，筆者也引入框架對應的整體思想，幫助理解和把握.

復合函數一般形式為y=f［φ(x)］，導數y′=f′［φ(x)］#8226;φ′(x)dx.即將φ(x)看成一個整體，先在f( )的框架里對φ(x)求導.第二步，再在φ(x)的框架里對x求導.最后兩步相乘.如果φ(x)又是一個復合函數，那么，繼續求導數，依次類推，最后所有的求導步驟全部相乘.

例 已知函數f(x)=cos［(lnx)2+3］，求f′(x).

分析 復合函數求導數是將分解的基本初等函數按照由外向里的順序分別求導數再相乘的.因此，我們也可引入框架，讓求導的先后順序更加明了.該函數的框架為f( )=cos［(ln( ))2+3］：先求對數，再平方加3，最后再求余弦值.因為加一個常數不影響導數，所以對數值平方再加3可當成一步求導.按照由外向里的順序求導為：先對余弦求導，再對平方加3求導，最后對對數求導.然后全部相乘.即：

f(x)=cos′( )(( )2+3)′(lnx)′dx=-sin( )2( )1xdx.每一步求導之后括號里的整體與求導之前保持一致，即只要對應著將括號里的整體放進去，最后得f′(x)=-sin［(lnx)2+3］#8226;2lnx#8226;1xdx.

由此可以看到，函數框架的思想和方法確實能使思路更加清晰，做題更加簡潔，也不易出錯.尤其是能更深層次的理解函數的抽象意義，舉一反三，提高學習效率，培養數學能力.

本文系2008年度湖南第一師范學院院級課題“全科型小學教師數學能力培養的實踐研究”（課題編號為XYS08N12）的階段性研究成果.