補集法應(yīng)用探析

【摘要】補集法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維能力.補集法有二次否定、反證、排除、補形等多種表現(xiàn)形式.靈活掌握這些方法，可以提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】補集法；應(yīng)用；探析

補集法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中起著重要的作用.補集法的思想方法是當一個數(shù)學(xué)問題（A）從正面直接求解有困難或分類情況較多、運算復(fù)雜時，我們可以試著從問題的反面（A）進行求解并得到解集，然后再取其補集（A）即得原命題的解.

一、補集法在代數(shù)中的應(yīng)用

例1 若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間［-1，1］上至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍.

解析 ①在區(qū)間［-1，1］上至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0的否定就是對x∈［-1，1］，f(x)≤0恒成立.

②由二次函數(shù)圖像開口向上，在［-1，1］上的最大值只能是f(-1)或f(1)，可依據(jù)假設(shè)直接列出f(-1)，f(1)的關(guān)系式，再求解.

解 假設(shè)f(x)在［-1，1］上f(x)≤0總成立.

∵f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在［-1，1］上的最大值只能是f(-1)或f(1)，則f(-1)≤0且f(1)≤0，

∴-2p2+p+1≤0且-2p2-3p+9≤0

解得p≤-12或p≥1，且p≤-3或p≥32.

于是p≤-3或p≥32.∴原題的解為：-3＜p＜32.

注 本題是先求出否定原題結(jié)論所滿足的條件p≤-3或p≥32，那么它在實數(shù)集上的補集則是原題所要求的結(jié)果-3＜p＜32，這種方法也稱為二次否定法，其根據(jù)是集合的性質(zhì)：A=A.我們在證明題中常用的反證法同樣是運用的這個性質(zhì)，反證法和二次否定法都屬于補集法.

反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而證明了原命題的正確性.反證法之所以有效是因為它對結(jié)論的否定實際上增加了論證的條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.

例2 求證：形如4n+3的整數(shù)不能化為兩個整數(shù)的平方和.

證 （用反證法）假設(shè)p是4n+3型的整數(shù)，且p能化成兩個整數(shù)的平方和，即p=a2+b2，則由p=4n+3知道p是一個奇數(shù)，所以a，b必為一奇一偶.不妨設(shè)a=2s+1，b=2t，其中s，t為整數(shù)，于是：

p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1這與p是4n+3型的整數(shù)相矛盾.所以假設(shè)錯誤，原題得證.

二、補集法在幾何中的應(yīng)用

補集法在幾何中多以補形的形式出現(xiàn).例如異面直線的有關(guān)概念較難理解，通過補形法則可化難為易.

例3 長方體ABCD-A1B1C1D1中（圖1），已知AB=BC=1，BB1=2，求D1B和B1C所成的角.

解析 如果用直接法求解，需要作輔助線，但學(xué)生往往不知怎樣確定輔助線的位置.采用補形法可以在長方體的后面再補上一個與之全等的長方體，則輔助線的位置一目了然.

解 如圖2，補全等長方體CEFD-C1E1F1D1，將D1B平移至F1C，則D1B和B1C所成角轉(zhuǎn)化為F1C和B1C所成夾角∠B1CF1.在△B1CF1中，B1C=(2)2+12=3，

D1B=F1C=(2)2+12+12=2，

B1F1=22+12=3，

由余弦定理即可求得∠B1CF1=arccos36，

即為D1B和B1C所成的角.

例4 如果正四棱錐的側(cè)面是正三角形，求證：它的相鄰兩個側(cè)面所成的二面角是側(cè)面與底面所成二面角的二倍.

解析 在正四棱錐S-ABCD的底面體外再補上一個同樣的正四棱錐，得到一個八面體，由于正四棱錐的側(cè)面是正三角形，所以補成的八面體應(yīng)是正八面體，其每相鄰兩面組成的二面角都相等，而原正四棱錐的底面ABCD又是其中四個二面角的平分面，所以原問題得證.

注 補形法的根據(jù)是集合的性質(zhì)：A∪A=I，就是將一個幾何圖形A與所添加的幾何圖形A組成一個整體圖形I，然后利用整體圖形I的性質(zhì)研究圖形A的性質(zhì).

三、補集法在排列組合和概率中的應(yīng)用

例5 從４臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要求甲型與乙型電視機各有一臺，則不同的取法共有多少種？

解析 用直接法求解是將抽取甲型一臺、乙型兩臺的取法C14#8226;C25加上甲型兩臺、乙型一臺的取法C24#8226;C15，則滿足條件的不同取法共有C14#8226;C25+C24#8226;C15＝70（種）.而應(yīng)用補集法求解則是從全體取法中減去只取甲型和只取乙型的情形.

解 （補集法）全部不同的取法為C39，只取甲和只取乙的取法為C34，C35，所以C39-C34-C35＝70（種）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文