在實施新課程中仍需繼續加強對學生運算能力的培養

培養學生的運算能力是中學數學教學目的之一，也是高考重點考查的對象，在培養學生的運算能力這一問題上，不能簡單地理解為培養學生數值的計算上，更應該培養學生在運算過程中的正確嚴謹、準確靈活、簡潔快速的能力的養成.在實施新課以來，經過一段時間的教學實踐，在教學中產生了一些可喜的變化.比如學生的學習態度變得主動了，學生的學習興趣變得濃厚了，學生的分析問題和解決問題的能力提高了，等等.但是筆者發現學生的運算能力在逐步走向弱勢，讓我們初次實施新課的老師有些“擔憂”.為此筆者認為不能放松對學生運算能力的培養.下面筆者談談體會與想法.

一、從概念、性質、公式和法則的理解入手，培養學生運算能力的嚴謹性

正確地理解概念是掌握數學基礎知識的前提，也是準確迅速運算的依據，運算不準確在很大程度上是由于對基本概念理解得不透徹，運算的正確性來自對知識的正確理解和掌握.錯誤的原因不能簡單地歸于學生解題時的“粗心大意”，而真正的原因在于對相關知識的理解膚淺所置，只有切實掌握有關知識，才能使運算明確方向，使運算過程準確嚴謹.比如，如果對子集、真子集，非空真子集的概念理解不清，就會出現對解一類判斷集合個數題目的錯誤.例如：已知集合M=｛2，5，7｝，求它的子集、真子集、非空真子集的個數.比如對確定平面的條件概念的理解不清，就會得出“任何三點能確定一個平面”的錯誤.因此，準確理解數學概念、性質、公式和法則是培養運算能力的前提.

二、從正確進行推理入手，培養學生運算能力的準確性

運算離不開邏輯推理，運算過程是應用三段論法的過程.提高學生的運算能力，必須提高其推理能力.在教學時既要使學生了解“怎樣運算”，還要明確“為什么要這樣運算”，這樣才能保證運算的合理性.在教學中許多數學教師對這一點不夠重視，表現在對于學生不合理的運算推理不給予評價、糾正.常以答案是否正確作為評價的唯一標準，甚至在課堂上經常出現這樣的說法“下面是消去x，y，便可得到結果……”“下面是具體運算，同學們課后計算吧”等等，事實上學生課后如何消元x，y，是否會具體運算，教師根本不了解.這樣正好給學生養成了對復雜的運算不感興趣，熱衷于對答案的習慣，久而久之學生就形成了對運算的畏難情緒，造成運算上的不少薄弱環節，直接影響了運算能力的提高.

三、從一題多變入手，培養學生運算能力的靈活性

數學運算的熟練性主要表現在能迅速合理地進行運算，有些學生往往只會機械地死記公式，生搬法則，其結果是既花費了大量時間，又不能求得準確的結果.

例1 （必修2，P127例題1）

已知直線l:3x+y-6=0和圓C:x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系.

分析 課本中運用了圓心到直線的距離與圓的半徑進行比較和判別式法這兩種方法解答，并形成了對比，體現了一題多解的重要思想，但如果我們從一題多解的思維方法入手，通過一題多變就能變換出更多的解題方法，實現了對課本的理解與提升.下面通過對上述題目進行變換，目的是為了得到更多的解題方法.

變1 證明不論k為何值，直線l:y=kx+1和圓C:x2+y2=4總相交.

分析 如果用例題的兩種方法來解會顯得繁瑣，因為本題中從直線l:y=kx+1的方程來看，直線l恒過點（0，1），而點（0，1）在圓C:x2+y2=4的內部，很顯然直線l:y=kx+1和圓C:x2+y2=4總相交.

變2 討論b取不同值時，直線l:y=x+b和圓C:x2+y2=1的位置關系.

分析 本題如果用數形結合思想來解，不僅使問題求解簡捷直觀，更有利于杜絕對含有條件的題目用例題中的方法求解錯誤的發生.由直線l:y=x+b得直線l在b的變化時是一組平行線，容易知道當直線l與圓C相切時b=±2，即容易得到當b=±2時直線l與圓C相切，當-22或b<-2時直線l與圓C相離.

變3 討論b為何值時，方程組y=x+b，

y=1-x2有一組解.

分析 本題如果基于用例1中的判別式法，消去y，兩邊同時平方得到關于x的一元二次方程，然后用Δ=0求解b是錯誤的，原因在于本解法在消去y后，兩邊同時平方上.由y=1-x2的幾何意義知，對它兩邊同時平方結果為圓x2+y2=1，但由于y≥0，所以y=1-x2的幾何圖形是一個半圓，這就是上述解法的錯誤所在.若用數形結合思想來解，易知b=2或b=-1時方程組y=x+b，

y=1-x2有一組解.

四、從一題多解入手，培養學生運算能力的熟練性

學生思維的靈活性主要表現在是否善于迅速地引起聯系、建立聯想，是否善于迅速地調整原有的思維過程.一些學生之所以在運算中采用較為繁瑣的方法，是因為他們不善于聯想，不能根據實際問題的條件與結論選擇最恰當的運算方法，為此從一題多解入手培養學生運算能力的熟練性是必要的.

例2 在橢圓x2100+y236=1上一點Ｐ到左焦點的距離為６，求點Ｐ到兩條準線的距離.

分析1 設點Ｐ的坐標為（ｘ，ｙ），由題意易知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以橢圓的左焦點為（-8，0）.

于是由x2100+y236=１，(x+8)2+y2=６，消去ｙ，可以解得x1=-5，x2=-20（舍去），即點P（-5，±33）.又因為橢圓的兩條準線方程為x=±252，所以點Ｐ到兩條準線的距離分別為152，352.

分析2 依題意知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以離心率e=45，于是由橢圓的第二定義得點Ｐ到左焦點的距離為152，同理可得點Ｐ到右焦點的距離為352.

評析 顯然上述兩種解法中較簡捷的是解法2，解法１較為繁瑣，但多數學生往往選擇解法1.為了訓練學生運算能力的熟練性，除了引導學生熟練掌握概念、定義及其內涵與外延外，還必須教會學生不但能“正用”公式、法則，而且能“逆用”或“變用”公式、法則.不僅如此，還能通過一題多解，引導學生掌握類比聯想、對比聯想等數學思想與方法，使學生的解題能力逐步形成.

總之，數學是一門邏輯性很強的學科，概念、法則、公式、定理之間是相互依賴與轉化的，因此通過有目的、有步驟、分層次的培養學生的運算能力，不僅能優化學生的思維品質，更能使所學知識、方法得到系統的整理，實現教學效果的最優化.

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