此直線的極坐標方程可否用tanθ=1表示

【摘要】本文從任意角三角函數本質的角度出發解釋為什么能用tanθ=1表示圖1所示的直線，并由此闡釋了圓的極坐標方程的建立過程.

【關鍵詞】任意角三角函數；直線的極坐標方程；圓的極坐標方程

在2009年安徽高考數學中把極坐標與參數方程作為選考內容，在實際教學過程中部分教師對教材中如圖1所示的直線的極坐標方程可否用tanθ=1表示產生疑惑.認為任意角三角函數是在直角坐標系下定義的，沒有直角坐標系任意角三角函數將沒有意義，進而認為不能用tanθ=1表示，但在隨后的圓的幾種極坐標方程中出現了正弦函數、余弦函數，那么圖1所示的直線究竟能否用tanθ=1表示？如果不能，那么是什么原因?如果能，那么教材中為什么沒有采用?筆者認為回答這些問題還應回到對任意角三角函數的理解上來.

1.對任意角三角函數本質的理解

回答上述問題應從對任意角三角函數本質的理解說起.在人教版《普通高中實驗教科書#8226;數學4-必修(A版)》中，三角函數采用了如下定義(簡稱“單位圓定義法”):如圖2，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么:

(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y;

(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x;

(3)yx叫做α的正切記作tanα，即tanα=yx(x≠0).

可以看出，當α=π2+kπ(k∈Z)時，α的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以tanα=yx無意義.除此之外，對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的.

在角α的終邊上任取一點P(x，y)，點P到原點的距離為r，比值yr，xr，yx分別定義為角α的正弦函數、余弦函數和正切函數(簡稱“終邊定義法”).

前蘇聯百科全書出版社出版的，被陳省身先生譽為“對數學的貢獻，將無法估計”的、具有世界性權威的《數學百科全書》(中譯本在2000年由科學出版社出版)中，采用了“單位圓定義法”；中國大百科全書出版社出版的《中國大百科全書#8226;數學》(1992年版)中采用了“終邊定義法”.不論是“單位圓定義法”還是“終邊定義法”，在本質上是一致的，都表示數集到數集上的一個周期性對應關系.(在弧度制下任意角集合與實數集是一一對應的關系)這種周期性的對應關系乃是任意角的三角函數的本質特征，“數集到數集上的對應”“隨處定義”和“單值定義”是函數的本質特征.是函數不變的性質，除此以外的一切形式都是可變的.我們也可以用正弦曲線、余弦曲線、正切曲線來定義正弦函數、余弦函數、正切函數或者用三角函數線定義任意角三角函數.因為正弦曲線、余弦曲線、正切曲線、三角函數線更形象地表示出任意角三角函數的周期性對應關系，這種周期性的對應關系完全可以不依賴直角坐標系、單位圓等而存在，它用什么形式表示不是任意角三角函數的本質特征.

2.圖1所示的直線的極坐標方程可用tanθ=1表示

圖1所示的直線的極角是π4及與π4相差π整數倍的角，那么由1中的分析可知在極坐標系中直線上點的極角對應的正切值仍然是1即tanθ=1，反過來正切值是1的角為π4或與π4相差π整數倍的角.因此完全可以用tanθ=1作為圖1所示的直線的極坐標方程.但是這樣一來，一是擴大了直線上點的極角范圍，二是把擴大了的極角對應成正切值.不如用極角θ=π4和5π4表示簡潔.把本是一條簡單的直線用復雜化的方法表示出來不符合數學簡潔美的要求.這也許是教材沒有采用的原由.

3.圓的極坐標方程的建立

在圖3中當圓處在極軸上方時可以把圓上點的極角θ看成銳角，因此只需直接解直角三角形就能建立圓的極坐標方程即ρ=2αcosθ.但當圓在極軸下方時(如圖4所示)圓上的點的極角θ只能看成是任意角，或者看成大于3π2小于2π的正角，或者看成小于-π2的負角，因此就不能簡單地用解直角三角形來建立圓的極坐標方程，而是要回到對任意角三角函數本質的理解上來.當把極角θ看成大于3π2小于2π的正角時，由誘導公式cos(2π-α)=cosα可知極角θ的余弦值與∠AOB的余弦值相等.當把極角θ看成大于-π2的負角時，由誘導公式cos(-α)=cosα可知極角θ的余弦值與∠AOB的余弦值相等.故此時通過解直角△AOB建立圓的極坐標方程即ρ=2acosθ.經驗證圓與極軸的兩個交點也符合此方程.

至此才算嚴謹地建立起圓的極坐標方程.如果受三角函數定義的局限認為沒有直角坐標系任意角三角函數沒有意義，那么圓在極軸下方的情況將無法求解方程.通過誘導公式將極角θ的余弦值轉化為銳角∠AOB的余弦值是關鍵，而誘導公式是任意角三角函數周期性對應關系的一種表現形式.因此對三角函數本質的認識是解決問題的根本出發點.

在極坐標系中是用極徑和極角刻畫平面中點的位置的，因此在極坐標系中三角函數知識有著廣泛地應用，而對三角函數本質的理解影響到三角函數知識應用的廣度和深度.

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