類比思維在高中數(shù)學教學中的作用實踐與反思

【摘要】類比思維是解決數(shù)學問題的一種重要思維方法.本文根據(jù)數(shù)學解題中有關知識間的聯(lián)系，闡述了類比思維在數(shù)學概念解題、數(shù)學性質公式推導、發(fā)現(xiàn)數(shù)學解題思路等方面的應用以及在培養(yǎng)學生創(chuàng)造能力方面的重要作用.

【關鍵詞】類比思維；創(chuàng)造性思維；數(shù)學解題；應用

數(shù)學是當今中、小學開設的一門主干課，因此在數(shù)學解題中如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神與創(chuàng)造能力是擺在當今數(shù)學教師面前的重要課題.當前，在中小學數(shù)學解題方法中，偏重于演繹論證的訓練，過分強調形式論證“嚴密性”的做法流行.若長此以往，對發(fā)展學生創(chuàng)造能力是十分不利的.偉大的數(shù)學家高斯說：“數(shù)學是鍛煉思維能力的體操”，教師在數(shù)學中應注意鍛煉學生的創(chuàng)造性思維能力，而類比思維正是培養(yǎng)學生這種具有普遍意義的數(shù)學思維能力的重要思維.

1.代數(shù)中的類比推理

1.1 數(shù)列中的類比推理

例1 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.

已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為.

分析 由等和數(shù)列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，…），故a18=3.

當n為偶數(shù)時，Sn=52n；當n為奇數(shù)時，Sn=52n-12.

評注 本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數(shù)列的有關知識及其數(shù)學活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學思想方法.

1.2 函數(shù)中的類比推理

例2 已知函數(shù)f(x)=x13-x-135，g(x)=x13+x-135.

試分別計算：f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

分析 分別計算得f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)#8226;g(3)的值都為零，由此概括出對所有不等于零的實數(shù)x有：f(x2)-5f(x)#8226;g(x)=0.如果將式子f(x2)-5f(x)#8226;g(x)=0中的5改成字母λ(λ≠0），可進一步推廣.

f(x2)-λf(x)#8226;g(x)=0.

評注 由數(shù)字型向字母型類比推廣相當于從特例向一般推廣，但其實質都是一般化策略.正如波利亞在其《怎樣解題》中所闡述的一般化思維：“一般化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小的集合的更大集合.”

1.3 排列與組合中的類比推理

例3 已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）的首項為a1，公比為q的等比數(shù)列.

（1）求和：a1C02-a2C12+a3C22；a1C03-a2C13+a3C23-a4C33.

（2）由（1）的結果，歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明.

分析 本題由（1）的結論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：

（1）a1C02-a2C12+a3C22=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2，

a1C03-a2C13+a3C23-a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.

（2）歸納概括的結論為：若數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則

a1C0n-a2C1n+a3C2n-a4C3n+…+(-1)nan+1Cnn=a1(1-q)n.（證明略）

評注 本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題.

2.幾何中的類比推理

2.1 平面幾何發(fā)散到立體幾何中的類比推理

例4 在平面幾何中，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則.”

分析 關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比：

多面體多邊形；面邊

體積面積；二面角平面角

面積線段長；… …

由此，可類比猜測本題的答案：

S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.

評注 本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時的教學與復習中要注意類比等思維方法的學習，更要注意研究性學習在數(shù)學中的適時切入.

2.2 解析幾何中的類比推理

例5 已知兩個圓：x2+y2=1，①

與x2+(y-3)2=1.②

則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為.

分析 將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，③

與(x-c)2+(y-d)2=r2.④

其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程.

評注 本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題.

綜合點評 波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學還是在高等數(shù)學，甚至在其他任何領域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn).”因此，作為基礎教育之一的中學數(shù)學，在教學中必須重視培養(yǎng)學生的類比推理和歸納推理的能力.為此，特提出以下教學建議：

（1）教師根據(jù)教材特點，在傳授新知識時，有意識地引導學生，通過類比與歸納得出新的知識，逐步學會類比推理的方法.

（2）教師在進行知識復習時，經(jīng)常對相關的知識進行類比，培養(yǎng)學生對相關知識進行類比的習慣.

（3）教師在解題教學中，通過類比，引導學生推廣數(shù)學命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對知識的理解，對數(shù)學思維方法的掌握.

（4）教師通過類比，拓展學生的數(shù)學能力，提高學生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學生的實踐能力和創(chuàng)新精神.

類比思維是根據(jù)兩個對象具有某些相同的屬性而推出當一個對象具有一個另外的性質時，另一個對象也具有這一性質的一種思維方式.因此求解類比思維問題的關鍵在于確定類比物，建立類比項.換言之，不能把類比僅停留在敘述方式或數(shù)學結構等外層表象之上，還需要對數(shù)學結論的運算、思維過程等進行類比分析，從解題的思維方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在的關聯(lián).

運用類比思維猜測對于發(fā)展學生的思維能力是有很大幫助的，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力具有重要作用.但是猜測不一定都是正確的，需要進一步驗證.這一點也要學生們特別注意.

綜上所述，我們可以知道類比思維法是一種發(fā)現(xiàn)法而不是論證法，恰當運用可以幫助學生更好地建立認知結構，探索和發(fā)現(xiàn)新的命題、新知識，增強創(chuàng)新能力和解決問題的能力.這對于我們學會更好地解數(shù)學題目和學好數(shù)學是相當重要的.

備注 此文章是受廣西教育科學“十一五”規(guī)劃（桂教科［2010］8號）項目以及廣西師范學院教改工程“十一五”第五批項目（桂師院教字［2010］22號）支持.

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