談拉格朗日定理的幾何意義在解題中的應(yīng)用

【摘要】本文從拉格朗日定理的幾何角度進(jìn)一步挖掘了該定理的價(jià)值，即用弦線法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日定理；幾何意義；弦線法

1引 言

拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)分析中有著十分重要的地位.而對(duì)于拉格朗日中值定理的研究，從分析方面看已經(jīng)是很完備的了，所以本文就從拉格朗日定理的幾何角度來(lái)進(jìn)一步挖掘此定理的價(jià)值，即將數(shù)學(xué)分析與空間解析幾何兩大學(xué)科的思維方法有機(jī)結(jié)合在一起來(lái)解決研究中的實(shí)際問(wèn)題.這樣不僅拓展了解決問(wèn)題的思維方法，更進(jìn)一步地完善了拉格朗日定理的理論體系.

2拉格朗日定理及其幾何意義

拉格朗日定理是羅爾定理的推廣形式，用分析的語(yǔ)言可敘述為下列形式.

拉格朗日（Lagrange）定理：若函數(shù)f(x)滿足下列條件：

(1)在閉區(qū)間［a，b］連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a，b)可導(dǎo).

則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f′(c)=f(b)-f(a)b-a.

當(dāng)f(a)=f(b)成立時(shí)，拉格朗日定理即變成了羅爾定理.

下面我們來(lái)看一下這個(gè)定理的幾何意義.

拉格朗日定理的幾何意義:若閉區(qū)間［a，b］上有一條連續(xù)曲線y=f(x)，曲線上每一點(diǎn)都存在切線，則曲線上至少有一點(diǎn)M(c，f(c))，過(guò)M點(diǎn)的切線平行于割線AB（如圖1）.

下面我們從拉格朗日定理的幾何意義入手來(lái)看這個(gè)定理.定理中的函數(shù)f(x)的圖像是一條光滑曲線，它比羅爾曲線少了一個(gè)條件，拉格朗日定理的結(jié)論是說(shuō)在曲線上某一點(diǎn)處的切線斜率與起點(diǎn)A和終點(diǎn)B連接的線段平行（如圖1）.我們把曲線AB變成羅爾曲線A1B1，同時(shí)把直線AB變到橫軸上，那么羅爾曲線A1B1上有一點(diǎn)處M1的切線與橫軸平行，只要這種變換保持曲線的光滑性就可以得出拉格朗日定理的結(jié)論.

事實(shí)上，直線AB的方程為y=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a).

把AB和AB直線相減得出一條新的曲線A1B1，它的方程為y=f(x)-f(a)=f(b)-f(a)b-a(x-a).

記為F（x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

則這條曲線A1B1的方程為y=F(x)，易知它是羅爾曲線.由羅爾曲線的結(jié)論得知在（a，b）內(nèi)必存在一點(diǎn)c，使

F′(c)=f′(c)-f(b)-f(a)b-a=0.

從而證明了拉格朗日定理，而且說(shuō)明了引進(jìn)的輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

3幾何意義的應(yīng)用——弦線法

由拉格朗日定理知，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

則x1，x2∈［a，b］，ξ在x1，x2之間，使得

f′(ξ)=f(x2)-f(x1)x2-x1.

即是說(shuō)：曲線上任意兩點(diǎn)的弦，必與二點(diǎn)間某點(diǎn)的切線平行.我們正是可以利用這種幾何意義進(jìn)行思考解題.

例 設(shè)f(x)是可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增.若f(a)=f(b)(a

圖 2證明 任意取一點(diǎn)x∈(a，b)，要證f(x)

如圖2，作弦線AC，BC.

應(yīng)用拉格朗日定理的幾何意義，ξ∈（a，x），η∈(x，b)，使得導(dǎo)數(shù)f′(ξ)，f′(η)分別等于AC，BC弦的斜率.

但因f′(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以f′(ξ)

這就得到了（AC弦的斜率）<（BC弦的斜率）:

f(x)-f(a)x-a

這便得到關(guān)于函數(shù)值的不等式.

注意到f(a)=f(b)，移項(xiàng)既得f(x)

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