注重層次設計 培養思維品質

心理學研究表明：人的認識總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡單到復雜的.教學活動是學生在教師引導下對新知的一種認識活動，因而必須遵循人的認識規律.數學概念是數學的基礎知識，數學概念的教學在整個教學過程中至關重要；概念教學的層次設計就是根據人的認識規律，把學生的認識活動劃分為不同階段，在不同的階段完成不同的教學任務，通過逐步深化，有效地開發和培養學生的思維品質，使學生在較高層次上掌握所學概念.本文僅就數學概念教學中，各個層次如何培養思維能力，優化學生的思維品質，談一點粗淺的體會，并以此求教于各位師友.

一、引入概念，創造“逼人期待”的懸念，培養思維的主動性

在引入“復數”時，先讓學生求解這樣一個問題：

已知a+1a=1，求a2+1a2的值.

學生感到很容易，a2+1a2=a+1a2-2=12-2=-1.

對結果又感到迷惑不解：

“a≠0，a2，1a2>0，可為什么兩個正數之和為-１呢？”這時，教師指出：“這實際上是因為a+1a=1無實數根造成的，大家學習復數以后就會理解了，那么‘復數’到底是怎樣的一種數呢？”這就引發了學生心理上的懸念，使其興趣盎然，求知的熱情油然而生，進而表現為以學習數學為樂趣，在獲得知識的同時有一種愜意的滿足感.這就使學生沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發，也就培養了學生思維的主動性.

二、全面分析概念，揭示本質，培養學生思維的準確性和縝密性

在引入一個新的概念后，不僅要從字面上分析，更要從事物a+1a=1的本質、事物的整體及事物的內在聯系出發，對概念進行全面分析，突出其主要性質，揭示其本質，只有如此才能使學生切實理解和掌握概念的內涵.對概念的分析和理解，我認為主要應包括以下幾個層次：

1.淺 化

它包括把抽象的概念具體化，通過具體的數、式或運算，形成學生對數學概念的初步印象，即把復雜的概念簡單化，分解為若干簡單的部分，使學生通過對各部分的理解來完成對整個概念的理解.比如在引入反正弦函數的概念后，引導學生明確arcsinx的意義：arcsinx是一個角（也是一個數——弧度數）.首先使學生形成對反正弦函數的“主體”印象——角，然后強調這個角滿足兩個條件：

（１）這個角在-π2，π2上；

（2）這個角的正弦值是x.

如（具體化）：arcsin12是一個角，這個角在-π2，π2上，且正弦值是12，所以這個角是π6，即arcsin12=π6.

一般地，arcsinx的實質就是由已知的正弦函數值x找-π2，π2上的角.還包括把生疏的概念熟悉化，把生疏的概念進行對比或類比，通過知識的正向遷移來理解新學的數學概念.比如，講并集注意與交集對比，講指數函數與冪函數對比，講雙曲線的定義與橢圓的定義對比，講反正、余切函數與反正、余弦函數對比，等等.

2.變 異

改變概念的內涵或與概念有關但非概念內涵的某些因素，通過改變概念內涵，使學生從較高的層次上正確把握概念的內涵，形成的數學對象進行正確判斷的能力，進而使學生認識與數學概念有關的多種因素中，哪些因素是本質的，哪些因素是非本質的，從而形成對數學概念的準確而全面的理解和認識.仍以反正弦的概念為例，引導學生思考如下問題：(1)反正弦函數是否為正弦函數的反函數？(2)反正弦函數的反函數是什么？這樣就使學生能夠充分認識數學知識結構的嚴密性和科學性，培養了學生思維的準確性和縝密性.

3.反 面

一個數學概念的外延往往是某些數學對象的全體的一部分，如果把這些對象的全體看成一個全集I，數學概念的外延看作它的一個子集A，則所謂“反面”就是考查A的補集，使學生從另一個角度形成對數學概念的更深入、更全面的認識.在揭示了反正弦函數以后，請學生判斷下列函數是否為反正弦函數：

(1)y=arcsinx-π2；

(2)y=2arcsinx；

(3)y=sinxx∈π2，3π2的反函數.

上述逐層分析，揭示數學概念本質的同時，培養了學生的數學思維能力，優化了思維的品質，也將收到突出的教學效果.

三、運用新概念，由淺入深，循序漸進，培養學生思維的深刻性

新概念運用的設計應由易到難，形成梯度，拾級而上，促進學生思維的合理過渡.

在學生深刻理解了反正弦函數的概念之后，應立即引導學生運用新概念解決具體問題，請學生完成如下練習題：

(1)計算sin（arcsinx）；

(2)先判斷cosarcsin-12的符號，然后求值；

(3)計算cos（arcsinx）；

(4)求y=arcsinx-π2的反函數；

(5)是否需要引入一個新符號表示函數y=sinxx∈π2，3π2的反函數？如何用記號y=arcsinx來表示函數y=sinxx∈π2，3π2的反函數呢？

通過數學概念的應用，形成了對數學概念本質的更深入的認識，如此，常能達到培養學生思維深刻性的目的.

注重數學概念教學的層次設計，在課堂教學中，逐層推進，使學生的思維不斷深入，在每一個層次中，都通過啟迪和引導，使學生參與到分析知識的形成過程中來，從而使學生的思維能力得到有效的培養和開發，優化了思維品質，必將對提高學生素質起到突出的作用.

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