初中數學中的數學思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。初中數學中涉及的數學思想有：數形結合思想、轉化思想、分類思想、類比思想、函數與方程思想、統計思想。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。

一、數形結合思想

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，數和形本來就具有密切的關系。我國著名數學家華羅庚先生說：“數無形時不直觀，形無數時難入微?！边@句話形象簡練地指出了數和形的互相依賴、相互制約的辯證關系。因此，我們在研究問題的數量關系時，常常聯系到圖形，在研究圖形時，常常將其數量化，使數量關系和對應圖形結合起來，這就是數形結合的思想。如：學習有理數部分時充分利用數軸，列方程解應用題時利用直線形、圓形示意圖，探求一元一次不等式（組）的解集時在數軸上表示……可以說數形結合的思想貫穿于初中數學的始終。

二、轉化思想

客觀事物總是在不斷變化，并在一定條件下進行轉化。事物之間的轉化，反映在數學上就是轉化思想，又稱化歸思想。轉化思想是數學思想的核心，其內涵十分豐富：有復雜向簡單的轉化、抽象向直觀的轉化、多元向一元的轉化、高次向低次的轉化、未知向已知的轉化、一般向特殊的轉化等等。轉化思想在數學中無時不有，無處不在。就其內容而言，有運算的轉化，如加法與減法的轉化、乘法與除法的轉化；有式的轉化，如無理式向有理式的轉化、分式向整式的轉化、函數式向方程式的轉化；還有方法的轉化，等式不等式形態的轉化，問題表達方式的轉化，解題過程中的一系列轉化等等。轉化思想貫穿于解題過程的始終。它是最重要的應用最廣的數字思想。

三、分類思想

當一個數學問題難以解決時，有時可按某一標準把這個問題分成若干種不同的情況，然后對每種情況分別進行討論，這種解決數學問題的思想就是分類思想。分類思想是初中階段的重要思想方法之一。運用分類思想處理數學問題時要注意兩點：一是分類標準相同；二是不重復、不遺漏。在概念教學中，為了明確概念的外延，常常要運用分類思想對概念進行分類，而且有些概念是直接運用分類思想以揭示其外延的方式定義的，如有理數、絕對值、實數整式等?？傊?，分類思想是研究概念的外延、圖形的位置關系、函數性質等問題的基本思想。

四、類比思想

根據兩種事物在某些特征上的相似性，作出它們在其他特征上也可能相似的結論，這種推理思想運用在數學上就是類比思想。如：通過與有理數的相反數、絕對值、運算律類比得到實數的相反數、絕對值、運算律；通過與分數概念、分數基本性質類比得到分式概念、分式基本性質；通過與分數約分、通分的方法類比得到分式的約分、通分的方法，等等。

五、函數與方程思想

運動變化、相互關系、相互制約，是客觀世界的普遍規律，函數與方程思想就是這一規律在數學中的反映。函數描述了自然界中量與量的依存關系，反映了一事物隨另一事物的變化而變化的客觀規律。在解決某些問題時，常常要抽象出問題的數學特征，建立一個恰當的函數關系，再利用該函數的性質來解決問題。這種通過建立函數關系并運用函數性質來解決數學問題的思想就是函數思想。方程是含有未知數和已知數的等式，因此，方程反映了已知量和未知量相互制約的條件，架設了由已知到未知的橋梁。任何一個聯系生產和生活的數學問題，都有已知和未知，把已知和未知間的關系通過方程表達出來，再利用解方程的辦法求得未知，這就是方程思想。簡單地說，運用方程這一工具來解決數學的問題的思想就是方程思想。

函數與方程既是兩個不同的概念，又存在著密切的聯系。一個函數若能用一個解析式表達，則這個表達式就可看成一個方程；一個二元方程的兩個未知數間存在著對應關系，如果這個對應關系是單值的，那么這個方程也可以看成一個函數；一個一元方程，它的兩端可以分別看成函數，方程的解即為這兩個函數圖象交點的橫坐標。因此，許多有關方程的問題可以用函數的方法解決；反之，許多有關函數的問題也可以用方程的方法解決。

六、統計思想

利用樣本的特征來估計總體的特征，從局部的性質來估計總體的性質，通過對數據的描述和整理來尋找規律，從偶然中尋找必然，從現象中尋找本質，這種處理數學問題的思想就是抽樣統計思想，簡稱統計思想。運用統計思想來處理問題，關鍵是抽樣的科學性，即樣本的代表性。這種思想在科學試驗、農業估產、工業質量檢驗以及教育估計等各個方面都具有廣泛的實際應用。統計思想的重要性從初中“代數統計初步”一章的例題和習題中已充分地反映出來。統計思想也是一種重要的數學思想。

（責任編輯 趙永玲）