重新審視整數乘法估算教學

估算是日常生活中應用較為廣泛的一種心智活動。估算對培養學生的估算意識，能力，讓學生擁有良好的數感，具有重要的價值。本文就整數乘法估算教學如何估算、怎樣取值，談一孔之見，求教同人。

一、算法——仁者見仁，智者見智

1.鏡頭回放。《福建教育》曾刊登《討論：標準答案是否合理》一文，其背景是：某地小學畢業考題：“同學們做早操，每行22人，排成28行，這些同學大約有（ ）人。”學生的答案有四類：第一類，560、600、660。第二類，616。第三類，答案在560到660之間的整數（不包括560和660），如565、570、580、610、659等。第四類，大于660或小于560，如500、750等。

2.同題再考查。就該題，筆者再次考查了3～6年級的部分學生，有如下幾種估算法：

①把22看成30，把28看成30，22×28≈900。

②把22看成20，把28看成30，22×28≈600。

③把22看成30，把28看成20，22×28≈600。

④把22看成20，把28看成20，22×28≈400。

⑤把28看成30，22×30=660，所以22×28≈620。

⑥把22看成20，20×28=560，所以22×28≈610。

⑦22×28=616，所以22×28≈620。

⑧22×28=616，所以22×28≈616。

這些算法，大致可做如下歸納、分析：一是“先估后算”。第①②③④種算法，先取兩個因數的近似數，即把因數看作整十數，然后直接口算出其結果。但第①④種算法的結果大幅度偏離估值；比較第②③種算法，雖然估值相同，但第③種算法并非“常規”估法，而是“算了再估”。第⑦種算法，先算出準確得數，再用四舍五入法取其近似數。這種算法混淆了“估算”與“算估”兩個不同的概念。三是“估后補償”。第⑤⑥種算法，先只取其中一個因數的近似數進行計算，然后根據“因數估大還是估小”，再“補償”估值。其中，第⑤種算法就是根據“因數估大”而把估值“調小”，而第⑥種算法則是根據“因數估小”把估值“調大”。四是“準確計算”。第⑧種算法，用準確得數作估值。

“22×28≈？”是常見的估算題，在現實生活中常常遇到。學生的算法可取與否，估值妥當與否，存在不同的看法。

二、看法——各執一詞，莫衷一是

西南大學數學與統計學院王鮮鳳老師在《新課程下小學估算教學中的問題探析》一文中指出：“教師認為只要和準確答案接近的得數都算對，差得太遠就算錯。如何判斷一個估算答案是‘接近’準確值還是與準確值‘差得太遠’。國內外許多研究者所認同的記分方式是：誤差在10%之內的估算答案記3分，誤差在20%～10%的估算答案記2分，誤差在30%～20%的估算答案記1分，得到精確答案及誤差在30%以外的估算答案記0分（誤差是由估算答案與精確答案的差的絕對值除以精確答案再乘100%）。”

“鏡頭回放”中某小學的畢業考題所列出的“22×28≈？”一題的評分標準也認定只有誤差在10%之內的估算答案得滿分，其余答案均不能得滿分。對此，一些教師堅持只有“評分標準答案”能得分，而另一部分教師則認為，其他三類答案也各有各的獨到之處，甚至比“評分標準答案”更好地體現了估算知識的應用。《福建教育》組織有關教師“結合各類答案是否應該得分”進行討論，大家各抒己見，有的老師認為，估算既然是粗略估計，就不能對答案太苛刻。有的認為，估算與精算是相對立的，如果把估算與精算畫上等號，就失去了估算的意義。有的認為，有的學生掌握了速算技巧，還要他們估算就有點強人所難了。有的認為，估算的方法是多樣的，應鼓勵學生根據需求采用個性化的方法……由此可知，專家、學者、教師對估算的看法是“公說公有理，婆說婆有理”，似缺統一的評判“標準”。

三、建議——持之有故，言之成理

從某種意義上說，估算是一種速算。估算在強調過程與結果的同時，應特別強調結合具體情境估算，根據不同個體的思維方式選擇估法，有度取舍估值。

1.估法要“適合”。數學課程標準對“估算”明確指出：“第一學段，能結合具體情境進行估算，并解釋估算的過程。”“第二學段，在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養成估算的習慣。”第二學段特別強調“在具體情境中估算”。

⑴估法要“就事論事”。按上述要求，就是根據現實生活中存在的不同的數學問題，采取切合實際的估算策略。就“22×28≈？”來說，在不同的情境中，所采取的估算策略是不同的。

例1：“28位同學參觀博物館，每張門票22元，大約要準備多少錢？”一般而言，購買門票需要多準備些錢，宜把結果估大些。常見的估法有：①把22看成30，22×28≈840；②把28看成30，22×28≈660。這兩種估法，均把其中一個因數估大，使估值變大，都能確保“購買門票時準備足夠的錢”。其中，第①種的估值遠偏離正確值，而第二種的估值比較接近正確值，采取第②種方法解決本問題更趨于合理。如果“把28看成30，把22看成20，22×28≈600”，權衡之下（把28看成30，多看了2個22，即44；把22看成20，少看了2個30，即60），結果估小了，此時“把其中一個因數估大、另一個因數估小”的估法，不能合理解決本問題，不切合該情境實際。

例2：“學校的階梯教室每排22個座位，28排大約能坐多少人?”根據容納（容量）情境，一般要把結果估小些，以確保教室能容納得下觀眾。常見的估法有：①把22看成20，22×28≈560；②把28看成20，22×28≈440；③把22看成20，把28看成30，22×28≈600。比較這幾種估法，第①②種均把其中一個因數估小，使估值變小，但第②種結果遠偏離正確值，而第③種“把其中一個因數估大、另一個因數估小”，結果估小了。這樣的結果均能解決“教室容得下觀眾”這一問題。

估算的目的在于解決問題，不同的估算問題所采取的策略并不完全統一，諸如求購物消費問題、求租車費用問題、球表面積所需材料問題……應采取“大估”法，把因數估大些，使結果變大；類似于求杯子的容積、求某種原材料可制作的成品數量、求租車所需輛數、求租船所需條數等估算問題，宜采取“小估”法，把結果估小些。當然，像例1“把22看成30”、例2“把28看成20”來估算，雖然也能使問題得到解決，但這種“非常規”估法顯然不夠科學、合理。在教學中，教師應引導學生結合具體情境采取妥當估法，使結果盡可能接近準確值，使問題得到更合理地解決。一言之，估算應視具體情況“就事論事”，靈活采用不同的估算方法。

⑵估法要“因人而異”。數學課程標準強調的是“鼓勵算法多樣化”，而《教師用書》建議的是“把因數看成整十、整百的數來計算”。二者對“怎樣估算”沒有“統一的標準”。再者，《教師用書》對三、四年級的“估算教學建議”也有所不同：對三年級上冊提出“兩、三位數乘一位數的估算是通過把兩、三位數看成整十、整百的數來計算”；對三年級下冊提出“兩位數乘兩位數的估算是通過把兩位數看成整十數來計算”；對四年級上冊明確了“估算基本方法的內涵就是：接近準確值（符合實際）；計算方便（將兩個因數看成整十、整百或幾百幾十的數）”。對比數學課程標準的要求，估算要尊重學生的個性化表現。

例3：“101×86≈？”估算時，一定要“把101看成100，算出101×86≈（8600）”、“把86看成90，算出101×86≈（9090）”，或者“把101看成100，把86看成90，算出101×86≈（9000）”嗎？對于掌握“速算”技巧的某些學生來說，因為101與任意兩位數相乘的結果，只要連續重復把這個兩位數寫兩遍，即得數是8686，不僅快速，而且無誤。若把此題改為“102×86≈（ ）”，完全可以“把102看成101，快速估出101×86≈（8686）”，這比“把102看成100，算出101×86≈（8600）”更“接近準確值”。諸如此類，還有“頭同尾補”、“尾同頭補”的兩位數乘法速算等。

例4：“253×7≈？”如果把253看成220、230……290，能快速算出220×7、230×7……290×7的結果嗎？顯然，此時“將因數看成幾百幾十的數”來估，不能快速得到結果。如果把253看成200、210或300，則能快速算出200×7、210×7、300×7的結果，同樣，把7看成10，也能快速算出253×10的結果，但是，如此估算，其結果“接近準確值（符合實際）”嗎？這和盲目亂估有何區別呢？

估算是一種特殊的心智過程。估算強調的是“快”，而筆算強調的是“精”。估算是為了快速地得到被估結果，與之相比較，筆算“紙筆過程”顯得費時。所以，估算時，只要學生能快速估出“接近準確值（符合實際）”的結果都是允許的。如果某些學生具有“特殊”的速算方法或技巧，得出“鏡頭回放”中的答案“22×28≈616”應是允許的。當然，學生采用“筆算”的方法獲得“估算”問題的結果是絕對不可取的。波利亞指出：“學習任何知識的最佳途徑是由自己發現，因為這種發現理解得最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。”每個人的思維方式不同，表現出對相同數學問題的處理方法也可能不一樣。因而，在“加強估算，鼓勵解決問題策略的多樣化”的理念下，我們要尊重不同個體根據其知識結構、認知規律、思維方式采取適合“自己”的妥當估法。

2.估值要“適度”。

例5，“六一”節，王老師準備購買單價24元的獎品，分別獎給班上的4位同學，王老師大約要準備多少錢？”此題，估算24×4≈（ ）。根據該問題，應把結果估大些，如果把24看成25，很快估出24×4≈（100），且“估算”與“準確值”極相近。學生接觸到這一知識就懂得25×4、125×8的積是整百、整千的數，這或許是教師在教學中有意識地“教給”學生的一種“技能”，使之在后天的計算中逐步形成一種潛意識的簡算“條件反射”。

既然可以“把24看成25，估算出24×4≈（100）”，那么“估算25×4≈（ ）”時，為什么就不可以“把25看成25，算出25×4≈（100）”呢？如果說“估算與精算是相對立的，把估算與精算畫上等號，就失去了估算的意義。”此時的“估值”與“準確值”畫上了等號，不就失去估算的意義了嗎？如果按“得到精確答案的估算記0分”的方式記分，不就應該“記0分”嗎？再說，按“將因數看成整十的數”來估算此題，當學生“把25看成30，算出25×4≈（120）”，答案與準確值的誤差為20%，按“鏡頭回放”的評分標準不能記滿分或記0分。按這樣的“記分方式”，學生也只有“把25看成23、24、26、27”來估算（答案的誤差均在10%之內）才能記滿分。這豈不是為估而估嗎？這豈不是逼著學生把簡單的問題復雜化嗎？

估算結果是學生心智活動的一種表現形式。估算的結果必須有一個“范圍”，也就是“度”。如果沒有一個度的話，必然造成學生“盲目亂估”，滋長其不端正的學習態度。關于純粹算式的兩位數乘法估算，一般情況下，其結果的取值范圍在最大值（用進一法將兩個因數看成整十、整百數后的乘積）和最小值（用去尾法將兩個因數看成整十數后的乘積）之間。關于解決具體情境問題的乘法估算，吳正憲老師認為“結構合理方為正確”。這個“合理”其實就是取值區間問題。像例1“購票”問題，取值區間介于“準確值”和“最大值”之間，方能“合理”解決“購票備錢”問題；像例2“容納”問題，取值區間介于“準確值”和“最小值”之間，方能“合理”解決“教室容納觀眾”問題。當然，像“22×28=？”1.若“把22看成30，把28看成30，22×28≈900”；2.若“把22看成20，把28看成20，22×28≈400”。這樣的結果，大幅度偏離準確值，只能說估法“有道理”，而結果“不合理”。應該指出的是，無論是純粹算式乘法估算，還是解決問題乘法估算，其估值越接近準確值（符合實際）越具科學性、合理性。值得一提的是，準確值可以作為估值。不難理解，“不準確”的估算結果姑且能解決問題，那么。“準確”的估算結果不是能更精準地解決問題嗎？這又何嘗不可呢？難道估算的結果必須是一個“大致的數”才算對，評價時才給學生分數？筆者認為，估算結果可以是“準確值”。所以說，“鏡頭回放”中的“22×28≈616”（“準確值”作“估值”）也是正確的。有老師會問：“這豈不是‘≈’和‘=’沒有區別了嗎？”二者還是有區別的，估算強調的結果——度（大致范圍），準確值也屬于這個“度”范疇內的一個數，因此，估算的結果可以是正確值：筆算強調的結果——準（準確無誤），因此筆算的結果不能用“大致的數”來表示。

3.命題要“適宜”。我們不妨回頭看看“22×28=？”評卷中“怎樣取值”的爭議，爭議其實是由于教師在評卷標準不統一而引發的。常見的考查估算方法有口試、筆試等。口試是一種即時性反饋，教師能及時獲得某些學生的估算過程，可以說，口試估算具有過程上的可見性，評價者不易出現評價上的“盲區”。相對而言，筆試是一種延時性反饋，學生常常“只寫結果不寫過程”，其思考過程我們往往不得而知，這種估算過程上的不可見性，常常給評價者因“只見樹木，不見森林”而帶來諸多爭議。在評卷過程中，為避免引發教師之間無謂的爭端，我們可以設計如下筆試題型考查學生掌握估算技能的情況：

⑴連一連。

28×32 得數比1800大，

比2800小。

76×59 得數比3500大，

比4800小。

65×37 得數比600大，

比1200小。

⑵選一選。

①“28位同學參加博物館，每張門票22元，大約要準備多少錢？”最合適的估算方法是（ ）。“學校的階梯教室每排22個座位，28排大約能坐多少人？”最合適的估算方法是（ ）。

A.22×28 B.28×20 C.22×30

D.20×20 E.30×30 F.22×25

②如果□代表一個數字，估算7□×38的結果，錯誤的是（ ）

A.比2100大 B.比3200小

C.4000左右 D.3000左右

在上述題型中，“連一連”著重考查學生的估算取值范圍，能有效規避純粹算式計算估算因多樣結果而引發評價標準不統一的爭議。“選一選”第①題結合具體情境選擇合適的估算方法，能較好地體現考查學生的估算策略；第②題考查學生的估算思考過程，利于培養學生思維的深刻性。古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”教學中，教師應引導學生自覺地將估算訓練貫穿于現實生活的始終，使之養成估算習慣，形成估算意識，發展估算能力。

作者單位

福建省閩侯縣上街馬保小學

◇責任編輯：曹文◇