螺旋跳躍數學歸納法

【摘要】本文從最小數原理出發，在跳躍數學歸納法和螺旋式數學歸納法的基礎上，給出了螺旋跳躍數學歸納法.

【關鍵詞】最小數原理；正整數；螺旋跳躍數學歸納法

在數學證明中，有一個重要的方法，就是數學歸納法.數學歸納法形式不一，本文根據跳躍數學歸納法和螺旋式數學歸納法的特點，給出一個新的數學歸納法——螺旋跳躍數學歸納法.

先列出以下3個引理:

最小數原理 設M是任意一個自然數的集合.若M非空，則M中必有最小的自然數.

跳躍數學歸納法 設T是與正整數有關的命題，若(1)T(1)，T(2)，…，T(l)成立；(2)對于任意正整數k，假設T(k)成立，則T(k+l)成立.那么命題T對于一切正整數都成立.

螺旋式數學歸納法 設A和B是與正整數有關的命題，若(1)A(1)成立；(2)對于任意正整數k，假設A(k)成立，則B(k)成立；假設B(k)成立，則A(k+1)成立.那么命題A和B對于一切正整數都成立.

現在，在跳躍數學歸納法以及螺旋式數學歸納法的基礎上，給出螺旋跳躍數學歸納法.

定理1 設P和Q是與正整數有關的命題，若(1)P(1)，P(2)，…，P(m)成立；Q(1)，Q(2)，…，Q(n)成立，其中m=n.(2)對于任意正整數k，假設P(k)，Q(k)成立，則P(k+m)成立；假設P(k)，Q(k)成立，則Q(k+n)成立.那么命題P和Q對于一切正整數都成立.

證明 用反證法證明.假設命題P和Q對有些正整數不成立，由最小數原理，必有最小的正整數h，使命題P和Q不成立.因為P(1)，P(2)，…，P(m)成立和Q(1)，Q(2)，…，Q(n)成立，所以h≠m(h≠n)，且h>m(h>n)，從而h-m和h-n都是正整數.

由(2)知，P(h-m)，Q(h-m)成立時，則有P(h-m+m)=P(h)成立；同理Q(h)亦成立.這就導致了矛盾，即假設不成立，所以P和Q對于一切正整數都成立.

例1 現定義數列{Fn}(n是任意正整數):Fn+2=Fn+1+Fn，F1=1，F2=1，求證:F2n+1+F2n=F2n+1和2Fn+1Fn+F2n+1=F2n+2.

證明 記F2n+1+F2n=F2n+1為命題P，2Fn+1Fn+F2n+1=F2n+2為命題Q.

首先易知P(1)和Q(1)都成立.假設對于任意正整數k，P(k)，Q(k)成立，即有F2k+1+F2k=F2k+1，2Fk+1Fk+F2k+1=F2k+2，則F2k+2+F2k+1=(Fk+1+Fk)2+F2k+1=(F2k+1+2Fk+1Fk)+(F2k+F2k+1)=F2k+2+F2k+1=F2k+3，即有P(k+1)成立.

同樣，若P(k)，Q(k)成立，即有F2k+1+F2k=F2k+1，2Fk+1Fk+F2k+1=F2k+2，則F2k+4=F2k+2+F2k+3=F2k+2+F2k+1+F2k+2=F2k+1+2F2k+2=F2k+1+F2k+4Fk+1Fk+2F2k+1=F2k+1+(Fk+2-Fk+1)2+4Fk+1(Fk+2-Fk+1)+2F2k+1=F2k+1+F2k+2+F2k+1-2Fk+2#8226;Fk+1+4Fk+1Fk+2-4F2k+1+2F2k+1=2Fk+1Fk+2+F2k+2，即有Q(k+1)成立.

綜上，對于任意正整數，都有F2n+1+F2n=F2n+1和2Fn+1Fn+F2n+1=F2n+2成立.

事實上，例1中的數列{Fn}是著名的斐波那契數列，所證明的兩個恒等式是斐波那契數列的一對性質恒等式.采用的是螺旋跳躍歸納法中m=n=1的情形.若用第一數學歸納法或其他數學歸納法證明，過程較為繁瑣.

當然，定理1中約定m=n.若考慮到跳躍度m≠n，不妨設m

定理2 設P和Q是與正整數有關的命題，若

(1)P(1)，P(2)，…，P(m)成立；Q(1)，Q(2)，…，Q(n)成立，其中m

(2)對于任意正整數k，假設P(k)，Q(k)成立，則P(k+m)成立；假設P(k+m)，Q(k)成立，則Q(k+n)成立.那么命題P和Q對于一切正整數都成立.

證明 同樣可以用反證法證明.假設命題P和Q對有些正整數不成立，由最小數原理，必有最小的正整數h，使命題P和Q不成立.因為P(1)，P(2)，…，P(m)成立和Q(1)，Q(2)，…，Q(n)成立，所以h≠m且h≠n，而且m

同理，h-n

例2 若有兩個關于任意正整數n的數列an和bn，a1=3，a2=4，b1=54，b2=32，b3=74，且滿足an+2=23an+4bn+43和bn+3=13an+2-3bn+4112.求證:an=3n-2和bn=14n+1.

證明 記an=3n-2為命題P，bn=14n+1為命題Q，考慮到題意中兩恒等式，數列an和bn的跳躍度分別為2和3，采用螺旋跳躍數學歸納法證明.

由題意，可知P(1)，P(2)成立，Q(1)，Q(2)，Q(3)成立.假設對于任意正整數k，P(k)，Q(k)成立，即有ak=3k-2，bk=14k+1.由題中條件，可得ak+2=23ak+4bk+43=23(3k-2)+414k+1+43=3k+4=3(k+2)-2，所以P(k+2)成立.又P(k+2)和Q(k)成立，則bk+3=13ak+2-3bk+4112=13(3k+4)-314k+1+4112=14k+74=14(k+3)+1，所以Q(k+3)成立.綜上，恒等式an=3n-2和bn=14n+1得證.

從以上兩個定理發現，各種形式的數學歸納法都有其特點，它們之間的相互結合形成新的定理，可以簡化某些數學問題的證明.

致謝 感謝韓山師范學院劉玉教授的悉心指導!

【參考文獻】

［1］張禾瑞，郝钅丙新.高等代數(第五版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］方延偉.數學歸納法［M］.武漢:湖北教育出版社，2001.

［3］孫宗明.試論數學歸納法［J］.開封大學學報，1997(3):6-12.