和學生一起體驗數與形的和諧統一

【摘要】現代數學教學的主要目的和任務是在傳授知識和方法的同時，培養學生的數學素質，而數學思想方法是數學素質的精髓與靈魂.數形結合是中學數學思想中的重要數學思想之一，滲透于數學的各個環節之中，筆者在《二元一次方程的圖像解法》課堂教學中與學生一起從不同的角度體驗了數與形的和諧統一.

【關鍵詞】二元一次方程（組）；一次函數圖像；數形結合

案例背景

現代數學教學的主要目的和任務早已不再是簡單的知識和方法傳授，而是通過數學教學，在傳授知識與方法的同時，培養學生的數學素質.而數學思想方法又是數學素質的精髓與靈魂，是數學學習的核心.數形結合是中學數學思想中的重要數學思想之一，滲透于數學的各個環節之中.

在《二元一次方程的圖像解法》的前面已經分別學習了一次函數和二元一次方程組，這節課研究二元一次方程組（數）和一次函數圖像（形）的關系，是這兩章知識的綜合運用．滲透了數形結合的數學思想，強化了知識與知識的內在聯系，并為今后研究方程、不等式和函數圖像間的關系及高中解析幾何的學習奠定了基礎.筆者在課堂教學中做了一些嘗試，通過由數到形、由形到數、數形統一、以形助數、以數解形、課外延伸共六個環節，在教和學的過程中滲透了數形結合的數學思想，與學生一起從不同的角度體驗了數與形的和諧統一.

案例過程

情境：你認識“y=x+2”嗎？

學生：可以是二元一次方程也可以是一次函數.

感受二元一次方程與一次函數形式上的統一.

一、由數到形

探究二元一次方程y=x+2的解與一次函數y=x+2的圖像的關系.

師：這個二元一次方程有多少個解？你能把它們的解用平面直角坐標系中的點表示出來嗎？請你動手畫一畫.

（全班同學在坐標紙上描點，教師巡視，對需要幫助的學生進行指導.不一會兒，就有不少學生舉手發言了.）

生1：我先寫出了方程的兩個解，然后把x的值作為橫坐標，把y的值作為縱坐標，就能夠在平面直角坐標系中描出相應的點了，這樣就可以用平面直角坐標系中的點來表示二元一次方程的解了.

師：你的想法很好，其他同學還有別的想法嗎？

生2：按照生1的做法，只能在平面直角坐標系中描出有限個點，而二元一次方程有無數個解，怎樣才能把一個二元一次方程的解全部用平面直角坐標系中的點表示出來呢？

師：這個問題提得很好！請同學們多寫出幾個二元一次方程的解，再在平面直角坐標系中描出它們相應的點，觀察你描出的點，你有什么發現？

（大家都已經畫出了相關圖形，老師請大家把自己發現的規律說一說.）

生3：我在平面直角坐標系中描出了方程y=x+2的一部分解，我發現我描出的點都在同一條直線上，這條直線就是函數y=x+2的圖像.

本環節探索的過程遵循的是從有限個數到有限個形，從無限個數到無限個形的探索過程，引導學生進行歸納猜想，符合學生的認知規律.

二、由形到數

探究一次函數y=x+2的圖像上的點與二元一次方程組解的關系.

在平面直角坐標系上畫出一次函數y=x+2的圖像.

師：一次函數y=x+2的圖像上的點有多少個？把它們的坐標找到，它們與二元一次方程y=x+2有什么關系呢？

生4：我猜想這條直線上所有點的坐標都是二元一次方程y=x+2的解.

師：何以見得？

（學生驗證）

生4：我在這條直線上找了一個點（5，7），然后把x＝5，y＝7代入方程y=x+2中，方程的左右兩邊的值相等.

師：除了坐標為整數的以外，還有嗎？

生5：有，例如點（5.5，7.5）的坐標也滿足方程y=x+2.

師：你們還有其他的發現嗎？

生6：我還發現以方程y=x+2的解為坐標的點都在我畫的這條直線上，例如，我取x＝4.5，y＝6.5，然后描出點（4.5，6.5），這個點恰好在所畫的直線上.

本環節的探索過程同樣遵循了由特殊到一般的規律，如果利用幾何畫板找到直線上任意一點的坐標，再驗證是否為方程的解效果更好.

三、數形統一

師：大家通過自己動手描點、畫直線，觀察、探究出了一些規律，誰能夠把同學們的發現給予歸納？

生7：我認為以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數y=x+2的圖像上，反過來，一次函數y=x+2的圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程y=x+2的解.

二元一次方程y=x+2的一個解——一次函數y=x+2的圖像上的一個點；

二元一次方程y=x+2的所有解——一次函數y=x+2的圖像上的所有點.

一次函數圖像上有無數個點，而二元一次方程有無數個解，無數個解與無數個點，真是“天作之美”!

師：一次函數y=x+2與一次函數y=3-x的圖像，與相應的二元一次方程組y=x+2，y=3-x的解有關系嗎？

（有的學生在原來的平面直角坐標系上又畫出了一次函數y=3-x的圖像，有的同學在進行思考.）

生8：我觀察發現，一次函數y=x+2與一次函數y=3-x的圖像相交于一點，這個交點的坐標是（0.5，2.5），我們認為二元一次方程組y=x+2，y=3-x的解就是x=0.5，y=2.5.

師：你怎么肯定x=0.5，y=2.5就是方程組y=x+2，y=3-x的解呢？

生8：把x＝0.5，y＝2.5分別代入方程y=x+2和y=3-x中，發現這兩個方程的左右兩邊的值相等，所以x=0.5，y=2.5是方程組y=x+2，y=3-x的解.

師：看來二元一次方程組也可以通過觀察對應一次函數圖像的方法求解.

通過以上過程讓學生感受二元一次方程和一次函數的辯證統一，感受數學知識之間的內在的聯系.

四、以形助數

圖像法解二元一次方程組：

（1）2x+y=4，x-y=-1. （2）2x-2y=4，x-y=-1.

對于（1），學生通過轉化，可以將兩個二元一次方程轉化成兩個一次函數的形式，再在同一平面直角坐標系上畫出兩個一次函數的圖像，并且找出它們的交點坐標，于是學生很快地找到了二元一次方程組的解，所以馬上就有學生報出了答案.

對于（2），學生七嘴八舌地展開了討論：

生9：老師，題目有問題，解不出來啊！

生10：不是解不出來，而是沒有解.我畫出了二元一次方程組2x-2y=4，x-y=-1中對應的兩個一次函數的圖像進行了觀察，發現它們的圖像是平行的，沒有交點，方程組2x-2y=4，x-y=-1無解.

生11：我認為方程組2x-2y=4，x-y=-1的確是無解的.我們討論后認為圖像沒有交點，圖像代表的二元一次方程沒有公共解，方程組就無解.

師：很好！同學們可以對這個結論加以驗證.

經過我們的集體合作交流發現：

兩個一次函數的圖像（兩條直線）相交——對應二元一次方程組有唯一解；

兩個一次函數的圖像（兩條直線）平行——對應二元一次方程組無解.

這就是數與形的美妙結合.

師：請大家課后思考：如果兩條直線剛好重合，則這兩條直線所代表的方程組的解又如何呢？

由于“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象、直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題.本環節從圖像（形）的角度去研究什么時候二元一次方程組有唯一的解（數），什么時候二元一次方程組沒有解，并且提出類似的問題，作為研究活動的深化，有助于發展學生思維的深度和廣度.

五、以數解形

A，B兩地相距828 km，如圖是一列慢車和一列快車沿相同的路線從A地到B地所行駛的路程y(km)和行駛的時間x(h)的變化圖像.根據圖像回答下列問題：

（1）慢車比快車早出發h.

（2）快車比慢車早h達到B地.

（3）你能很快求出表示快車、慢車在行駛過程中的路程y與時間x之間的函數關系嗎？

（4）快車出發多長時間才追上慢車？

有些題目雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜的“形”，不但要正確地把圖形數字化，而且要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算.從數的角度去解決關于圖像的實際問題，更加的方便和準確.

六、拓展延伸

1.如圖，觀察圖像，寫出方程組y=x2-2x，y=2x-3的解.

2.你能探索出下列方程組的解嗎？

y=3x，y=x5-1.

案例分析

課堂教學流程圖：

1.由數到形，由形到數.從兩個方面學生全面深入地理解了二元一次方程組的解（數）和二元一次方程的圖像（形）的關系，從數和形的角度實現了認識上的統一，從而學生自己歸納并探索出了一般性的規律，但是也有學生對這個結論僅僅停留在接受階段，主要是因為學生參與課堂的主動性和過程性還不夠.

2.以形助數，以數解形，即用代數法研究圖形問題，用圖形法研究代數問題.

著名數學家華羅庚先生說得好：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思索，使抽象思維與形象思維結合，通過“以形助數”或“以數解形”，可使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，巧妙運用數形結合的數學思想方法來解決一些抽象數學問題，可起到事半功倍的效果.

利用圖像解二元一次方程組的方法:先在同一直角坐標系內分別畫出這兩個二元一次方程的圖像，它們是兩條直線，然后根據兩條直線有一個交點，則可得到交點的坐標(x，y)，它就表示兩個方程的公共解，從而得出原方程組的解.很多同學很不理解:一是很難十分準確畫出圖像;二是即使圖像畫得準確，交點坐標也是難以確定的.而直接使用加減或代入消元法則簡單準確，為什么書上要引進圖像法解二元一次方程組呢？

3.拓展延伸環節提高了學生學習圖像法解方程的興趣，成為本節課的亮點，起到了畫龍點睛的作用.

筆者在課堂教學中安排了更為復雜的方程組，用目前代數知識直接求解，但是同學們也可以利用圖像法求解，特別是利用“幾何畫板”畫出對應方程圖像后，方程組的解也可很快得到，這個過程實際上是一個“數”與“形”互譯的過程，即把題目中的數量關系轉譯成圖形，以使抽象的數量關系形象化，再根據對圖形的觀察、分析、聯想，逐步譯成算式，以達到問題的解決.大家體會到了圖像法的優越性，提高了學生學習圖像法解方程組的興趣和信心.

反 思

1.充分感知，積累表象，表象具有直觀形象性和抽象概括性的雙重特征.

(1)聯系學生生活實際，利用學生已有的經驗，動手操作.

(2)在教學中運用電化教學手段，也是幫助學生建立表象的有效途徑.

本節課內容安排較多，學生感知還不到位，從而造成了一部分學生只知其然而不知其所以然.

2.語言參與，表象概括，引發抽象思維.語言是對表象進行分析綜合形成概念的工具，是思維的物質外殼.在課堂教學中應充分地展開討論，并引導學生對一般性的規律進行自主的總結和概括.

3.“數”與“形”的辯證統一關系，使得“數形結合”的觀點成為進行數學學習和研究的一個基本觀點.在教學實踐中，滲透數學思想是一項長期的、細致的工作，我們不可能憑借一兩次課或幾個例題的講解就使學生完全接受和掌握，也不能依靠生硬的說教，而應當結合學生的年齡特征，結合教學內容自然而然、潛移默化地進行.因此，教師在日常教學中必須做一個有心人，善于利用反映數學思想的基本材料，有意識地設計與一定的數學思想相聯系的學習活動，以便達到“潤物細無聲”的效果.

【參考文獻】

［1］馬秀琴.初中數學數形結合思想的研究和應用.科學教育，2009（7）.

［2］王少瑜.由“二元一次方程組的圖像解法”想到的.初中數學教與學，2008（3）.