變換的不變性在研究與橢圓有關問題中的應用

【摘要】本文對橢圓化為圓的變換進行了分析，得到一些不變性質，在此基礎上，利用圓的性質解決了橢圓的有關問題.

【關鍵詞】變換；不變性；橢圓

圓是特殊的橢圓，具有比橢圓更多的優美性質，并且我們對圓有更多的了解，通過適當的變換能把橢圓化為圓.本文對橢圓化為圓的變換進行了分析，在此基礎上，利用圓的性質解決橢圓有關的問題.

1.定理及證明

定理1 若直線l1∥l2，其方程為l1：m1x+n1y+t1=0（m1，n1不同時為0）和l2：m2x+n2y+t2=0（m2，n2不同時為0），在變換x=au，y=bv，ab≠0下，對應直線分別為l′1和l′2，則l′1∥l′2.

證明 ∵直線l′1∥l′2，∴m1n2=m2n1且m1t2a≠m2t1a或n1t2b≠n2t1b.

即有(m1a)(n2b)=(m2a)(n1b)且［(m1a)(t2)≠(m2a)(t1)或(n1b)(t2)≠(n2b)(t1)］.(*)

∴變換后l′1和l′2方程分別為

l′1：(m1a)u+(n1b)v+t1=0和l′2：(m2a)u+(n2b)v+t2=0.

∴由(*)得知l′1∥l′2.

定理1說明了平行直線變換后仍然是平行直線.

由分點性質，可以證明如下定理.

定理2 若線段AB兩端點的坐標分別為A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點P(x3，y3)分有向線段AB所成的比為λ，在變換x=au，y=bv，ab≠0下，P點的對應點P′分有向線段AB的對應線段A′B′所成的比為λ′，則λ=λ′.

定理2說明了線段的定比分點分線段所成的比等于變換后分點的對應點分對應線段所成的比.

推論 線段中點的對應點變換后仍然是對應線段的中點.

2.應用舉例

下面通過具體例題，體會如何利用上面的定理，解決橢圓的有關問題.

例1 如圖1，過橢圓x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)外一點P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，O為坐標原點，連接OP交橢圓于N，連接AB交OP于M，求證：（1）M為AB的中點；（2）|ON|2=|OM||OP|.

證明 設x=au，y=bv，ab≠0，則u2+v2=1，令P，A，B，N，N，O在變換下的對應點分別為P′，A′，B′，N′，M′，O′（如圖2），依據變換的性質，PA，PB的對應直線P′A′，P′B′為單位圓u2+v2=1的切線，A′，B′為切點，M′點為O′P′與A′B′的交點，∴由圓的性質知M′為A′B′的中點.

故M為AB的中點.

又 ∵在Rt△O′A′P′中，|O′A′|2=|O′M′||O′P′|，|O′A′|=|O′N′|，

∴|O′N′|2=|O′M′||O′P′|，即|O′N′||O′M′|=|O′P′||O′N′|.

∴|ON||OM|=|OP||ON|，∴|ON|2=|OM||OP|.

評注 本題的轉化把橢圓的切線問題轉化為圓的切線問題，把長度不定的ON轉化為長度恒等于1的|O′N′|，充分利用圓的性質，使證明變得簡潔.

例2 如圖3，直線l：y=kx+1與橢圓x2+y22=1交于點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標原點)，當k變化時，求點P的軌跡方程.

解 設x=u，y2=v，橢圓x2+y22=1轉化為單位圓u2+v2=1，直線l:y=kx+1轉化為2v=ku+1，平行四邊形OAPB轉化為菱形O′A′P′B′（如圖4）.設P′(u，v)，由O′P′⊥A′B′及O′P′的中點在A′B′上有vu×k2=-1，2v2=ku2+1，消去k，得u2+v2=2v.由vu×k2=-1，得v≠0.轉化為x-y平面中的P點的軌跡方程為2x2+(y-x)2=1(0

評注 本題把橢圓轉化為圓后，同時也把平行四邊形轉化為菱形，從而為求動點P的軌跡創造了更多有利的條件，簡化了解題過程.

【參考文獻】

［1］梅向民，劉增賢，王江淳，王智秋.高等幾何［M］.高等教育出版社，2000.

［2］朱德祥.初等幾何研究［M］.高等教育出版社.

［3］何作發.仿射幾何幾點應用.湖北大學成人教育學院學報，2004，22（4）.

［4］尤承業.解析幾何.北京大學出版社，2004.

［5］陳志杰，陳咸平，林磊.高等代數與解析幾何習題精解.科學出版社，2002.