談含有參數的一元二次不等式的討論依據

【摘要】含有參數的一元二次不等式是高中數學教學中的一個重點，同時也是學生學習的一個難點，一般涉及分類討論的思想與方法，不易掌握.含有參數的一元二次不等式可以根據參數出現的位置進行討論，把問題轉化為一般的一元二次不等式，化繁為簡，從而加以解決.

【關鍵詞】一元二次不等式；參數；討論

解決含參數的一元二次不等式問題的一般方法是對參數進行分類討論，而針對不同的情況，需要討論的內容也不同.下面給出一些常見的含參不等式的討論依據.

一、二次項系數含有參數時，需要對二次項系數進行討論

當二次項系數含有參數，且題設中沒有給出該不等式是否為一元二次不等式時，首先需要對二次項系數是否為零進行討論，這一點恰恰是最容易忽視的.若指明給出的是一元二次不等式，則需要對二次項系數的正負進行討論.

例1 解關于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0.

解 （1）若a=0，則原不等式化為-x+2<0，此時解集為{x|x>2}；

若a≠0，則原不等式化為a(x-2)x-1a<0.

（2）當a<0時，原不等式化為(x-2)x-1a>0.又因為1a<0，此時解集為x|x<1a或x>2.

（3）當a>0時，原不等式化為(x-2)x-1a<0.

①當02，所以2

②當a=12時，此時1a=2，所以解集為；

③當a>12時，1a<2，所以1a

綜上所述，當a<0時，解集為x|x<1a或x>2；

當a=0時，解集為{x|x>2}；

當0

當a=12時，解集為；

當a>12時，解集為x|1a

二、一次項系數或常數項含有參數，且能夠因式分解時，需對根的大小進行討論

許多含參的一元二次不等式，解出其對應的一元二次方程的根并不難，一般可以通過因式分解解決，但由于方程的兩根含有參數，故大小不能確定，要對兩根的大小進行討論.

例2 解關于x的不等式x2-4ax+3a2<0.

解 方程x2-4ax+3a2=0可化為(x-a)(x-3a)=0，解得x1=3a，x2=a.下面就兩根的大小進行討論：

當3a>a，即a>0時，此時原不等式的解集為{x|a

當3a=a，即a=0時，此時原不等式可化為x2<0，其解集為；

當3a

綜上所述，①當a>0時，不等式解集為{x|a

②當a=0時，不等式解集為；

③當a<0時，不等式解集為{x|3a

三、一次項系數含有參數，不能因式分解，需對判別式進行討論

一次項系數含參且不能因式分解，只能用求根公式求出對應的一元二次方程的根，此時需要對判別式進行討論.

例3 解關于x的不等式x2+2ax+2a≤0.

解 判別式Δ=4a2-8a=4a(a-2).

①當Δ>0，即a>2或a<0時，方程有兩個不相等的實數根，分別為x1=-a-a2-2a，x2=-a+a2-2a，此時原不等式的解集為{x|-a-a2-2a≤x≤-a+a2-2a}.

②當Δ=0，即a=2或a=0時.

a=2時，原不等式化為(x+2)2≤0，此時解集為{-2}；

a=0時，原不等式化為x2≤0，此時解集為{0}.

③當Δ<0，即0

綜上所述，

①當a>2或a<0時，不等式解集為{x|-a-a2-2a≤x≤-a+a2-2a}；

②當a=0時，不等式解集為{0}；

③當0

④當a=2時，不等式解集為{-2}.

解含有參數的一元二次不等式，一般都是依據以上三點進行分類討論.但是這三種討論情況并非孤立的，有些問題需要用到其中兩種或三種，進行綜合考慮，如例1對二次項系數和根都進行了討論.