從一種數學解題方法開始的研究

【摘要】數學的解題過程是從未知向已知、從復雜到簡單、從難題向常規題的轉化過程，數學的解題能力就是運用知識和類化經驗，將所要解決的新問題轉化為已解決過的問題的本領.這里舉出在高等數學中幾個利用轉化思想解決的數學問題.

【關鍵詞】轉化；二階常系數線性微分方程；積分判別法

在解決數學問題時，我們可以借助已有的數學知識和解題經驗.轉化是一種數學思想，是一種處理問題的方法.在高等數學中，有一些定義或定理，用轉化的思想可更好地解決問題.

一、二階常系數線性微分方程

定義1 形如y″+py′+qy=0（1）

的方程稱為二階常系數齊次線性微分方程.

定義2 形如y″+py′+qy=f(x)（2）

的方程稱為二階常系數非齊次線性微分方程.（1）稱為（2）所對應的齊次方程，f(x)稱為非齊次項.

定理1 （非齊次線性方程解的結構）若yp是非齊次線性方程（2）的某個特解，yc是方程（2）對應的齊次方程y″+py′+qy=0的通解，則y=yp+yc是二階常系數非齊次線性微分方程（2）的通解.

證明 將y=yp+yc代入方程（2）的左端有(yp+yc)″+p(yp+yc)′+q(yp+yc)=(y″p+py′p+qyp)+(y″c+py′c+qyc)=f(x)+0=f(x).

這就是說，y=yp+yc確為方程（2）的解.

又因為yc中含有兩個獨立的任意常數，所以y=yp+yc中也含有兩個獨立的任意常數，故y=yp+yc為方程（2）的通解.

說明 定理1告訴我們，要想求得方程（2）的通解，得求出方程（2）對應的齊次方程y″+py′+qy=0的通解和方程（2）的某個特解，上述解求得后，二者做加法運算，才得到方程（2）的通解.

例1 求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解.

解 方程對應的齊次方程為y″-5y′+6y=0.

特征方程為r2-5r+6=0.

特征方程有兩個實根r1=2，r2=3.

所給方程對應的齊次方程的通解為y=C1e2x+C2e3x.

設方程的特解為yp=x(b0x+b1)e2x.

把它代入所給方程，得-2b0x+2b0-b1=x.

比較兩端x同次冪的系數，得-2b0=1，2b0-b1=0，

由此求得b0=-12，b1=-1.

于是求得所給方程的一個特解為

yp=x-12x-1e2x.

從而所給方程的通解為

y=C1e2x+C2e3x-12(x2+2x)e2x.

二、正項級數的積分判別法

定義3 級數∑∞n=1un(un≥0，n=1，2，3，…)稱為正項級數.

定理2 設定義在［a，+∞)上的兩個函數f(x)和g(x)都在任何有限區間［a，u］上可積，且滿足|f(x)|≤g(x)，x∈［a，+∞)，則當∫+∞ag(x)dx收斂時，∫+∞a|f(x)|dx必收斂（或者當∫+∞a|f(x)|dx發散時，∫+∞ag(x)dx必發散）.

定理3 正項級數∑∞n=1un收斂的充要條件是：部分和數列{Sn}有界，即存在某正數M，對一切正整數n有Sn

定理4 設f(x)為［1，+∞)上非負減函數，那么正項級數∑f(n)與反常積分∫+∞1f(x)dx同時收斂或發散.

證明 由假設f(x)為［1，+∞)上非負減函數，對任何正數A，f(x)在［1，A］上可積，從而有f(n)≤∫nn-1f(x)dx≤f(n-1)，n=2，3，…

依次相加，可得

∑mn=2f(n)≤∫m1f(x)dx≤∑mn=2f(n-1)=∑m-1n=1f(n).（3）

若反常積分收斂，則由（3）式左邊，對任何正整數m，有

Sm=∑mn=1f(n)≤f(1)+∫m1f(x)dx≤f(1)+∫+∞1f(x)dx.

根據定理3，級數∑f(n)收斂.

反之，若∑f(n)為收斂級數，則由（3）式右邊，對任一正整數m>1有

∫m1f(x)dx≤Sm-1≤∑f(n)=S.（4）

因為f(x)為［1，+∞)上非負減函數，故對任何正數A，都有0≤∫A1f(x)dx≤Sn

聯系（4）式及定理2，得反常積分∫+∞1f(x)dx收斂.

同理可證，∑f(n)與反常積分∫+∞1f(x)dx是同時發散的.

說明 積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性.

例2 討論級數∑∞n=21n(lnn)p的斂散性.

解 研究反常積分∫+∞2dxx(lnx)p，由于

∫+∞2dxx(lnx)p=∫+∞2d(lnx)(lnx)p=∫+∞ln2duup，

當p>1時收斂，p≤1時發散.

根據定理4知級數∑∞n=21n(lnn)p在p>1時收斂，p≤1時發散.

【參考文獻】

［1］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］侯風波.工科高等數學［M］.沈陽：遼寧大學出版社，2006.

［3］呂曉輝.在高中解題教學中培養學生轉化意識［J］.數學教學，2009.