分式函數值域解法探析

【摘要】函數既是中學數學各知識的交匯點，又是數學思想、數學方法的綜合點，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為歷年高考的重點與熱點.而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現.學生對這個知識點熟悉但又不易掌握，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一.為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討.下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不妥之處敬請同仁指教.

【關鍵詞】分式函數；值域解法

一、相關概念

函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值.

函數的值域是函數值的集合，是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合.函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定.

分式函數是指函數解析式為分式形式的函數.

二、分式函數的類型及值域解法

類型一 一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數.

1.y=cx+dax+b(a≠0)型

例1 求函數y=2-3x2x-1的值域.

解法 反函數法.利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域.

解 反解y=2-3x2x-1，得x=2+y2y+3.

對調y=2+x2x+3x≠-32.

∴函數y=2-3x2x-1的值域為y≠-32.

2.y=csinx+dasinx+b(a≠0)型

分析 這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名.可以考慮借助三角函數值域解題，其實質跟y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定區間上求值域類似.即：將y=csinx+dasinx+b反解，得sinx=f(y)，而-1≤sinx≤1，即-1≤f(y)≤1，解之即可.

例2 求函數y=sinx+22-sinx的值域.

解 由y=sinx+22-sinx，得sinx=2y-2y+1.

∵-1≤sinx≤1，∴-1≤2y-2y+1≤1，解得13≤y≤3.

3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b(a≠0)型

分析 這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故考慮疊加法.即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題.

例3 求函數y=3sinx-32cosx+10的值域.

解 ∵2cosx+10≠0，∴3sinx-2ycosx=10y+3，

∴9+4y2sin(x-φ)=10y+3，其中tanφ=2y3.

由sin(x-φ)=10y+39+4y2和|sin(x-φ)|≤1，

得|10y+3|9+4y2≤1.

∴(10y+3)2≤9+4y2，整理得8y2+5y≤0.

∴-58≤y≤0，即原函數的值域為-58，0.

總結 求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區間上求分式函數的值域.

類型二 二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數.由于出現了x2項，反解x的方法行不通.但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯系，可考慮將其轉化為不等式或方程來解題.

1.y=dx2+ex+fax2+bx+c(a，d不同時為0)，x∈R型

分析 去分母后，將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0.由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0)，解不等式便可求出原函數的值域.即：用判別式法.先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0，根據判別式Δ≥0（Δ=f(y)），即可求出值域.

例4 求函數y=3xx2+4的值域.

解 由y＝3xx2+4，得yx2－3x＋4y＝0.

當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由Δ≥0，得-34≤y≤34.

∵函數定義域為R，

∴函數y＝3xx2+4的值域為-34，34.

說明 判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域.

2.y=dx2+ex+fax2+bx+c(a，d不同時為0)，指定的區間上求值域型.

例5 求y=16x2-21x+55-4xx<54的值域.

分析 因為x<54，所以若用判別式法，可能會放大其值域.可以考慮使用均值定理解題.

解 ∵x<54，∴5-4x>0，15-4x>0.

∴y=16x2-21x+55-4x=1-4x+15-4x

=(5-4x)+15-4x-4

≥2(5-4x)15-4x-4=-2.

∴原函數的值域為［-2，∞).

例6 求y=x2+5x2+4的值域.

錯解 y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.

分析 在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中x2+4和1x2+4不能相等，“相等”條件不能成立.所以不能使用均值定理.但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域.

解 用單調性法.

y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4.

令x2+4=t，顯然t≥2，則y=t+1t(t≥2).

任取2≤t1≤t2，則f(t1)=t1+1t1，f(t2)=t2+1t2.

f(t1)-f(t2)=t1+1t1-t2+1t2

=(t1-t2)1-1t1t2.

∵2≤t1≤t2，∴t1-t2<0，t1#8226;t2≥4，1-1t1t2>0.

∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)1-1t1t2<0，

∴f(t1)

∴當t=2，即x2+4=2，x=0時，ymin=52，

∴原函數的值域為52，∞.

總結 不管是求一次分式函數還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍.雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法.若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣.故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果.

三、提煉知識，總結分式函數值域解法

求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式.但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法.常用的方法有：

1.反函數法.反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域.但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上求值域.

2.判別式法.判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式Δ≥0，通過解不等式求得原函數的值域.需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內.

3.不等式法.不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab(a，b∈R＋)，是在指定區間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區間上求值域時可考慮用不等式法.用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”.

4.換元法.換元法是求復合型分式函數值域的常用方法.當分式函數的分子或分母出現函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域.要注意換元后自變量的取值范圍.

5.單調性法.單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法.

另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域.由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明.