人教版與北師大版數(shù)學(xué)教材二次函數(shù)內(nèi)容對比分析

【摘要】很多學(xué)生對二次函數(shù)的理解僅僅局限于表達(dá)式，對二次函數(shù)的概念缺乏正確的認(rèn)識(shí).本文通過兩個(gè)版本二次函數(shù)概念一節(jié)內(nèi)容的分析，探討二次函數(shù)教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的一些問題.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；概念；對比；抽象

二次函數(shù)是義務(wù)教育新課標(biāo)第三學(xué)段的重要內(nèi)容，是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn).二次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用隨處可見，但初中學(xué)生在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中總存在很多問題，究其原因，是學(xué)生對二次函數(shù)概念缺乏正確的認(rèn)識(shí)，沒有理解二次函數(shù)的本質(zhì).概念是學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，只有理解了概念的核心內(nèi)容，學(xué)生在處理二次函數(shù)的問題，尤其是用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)才能找到入口，確定函數(shù)關(guān)系.本文針對人教版和北師大版九年級數(shù)學(xué)“二次函數(shù)概念”這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了對比分析.

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對這一節(jié)內(nèi)容的要求為：“通過實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義.”就是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題情境，讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的問題，結(jié)合已學(xué)函數(shù)內(nèi)容，嘗試找到解決問題的入口，即問題情境中的變量，然后通過問題中事物之間的關(guān)系找到對應(yīng)變量之間的關(guān)系，確定自變量和因變量，最終得到函數(shù)表達(dá)式.而在這里面確定變量和用函數(shù)表達(dá)式表示它們之間的關(guān)系，往往是學(xué)生學(xué)習(xí)中很難理解的內(nèi)容，難點(diǎn)就在于要將問題情境中的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式.這個(gè)過程的處理是教材中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.下面分析兩個(gè)版本在處理二次函數(shù)概念內(nèi)容中的一些特點(diǎn).

一、編排體例方面

在教材的編排體例方面，兩個(gè)版本教材都圍繞課標(biāo)中的要求，首先選取一定數(shù)量的問題情境，通過對問題情境的分析，確定了二次函數(shù)表達(dá)式，并通過舉例分析讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)的意義，再給出一定數(shù)量的練習(xí)題讓學(xué)生用二次函數(shù)表達(dá)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系.

二、問題情境的選取

兩個(gè)版本的教材都遵循課標(biāo)要求，從實(shí)際問題情境的分析中確定了二次函數(shù)的表達(dá)式.人教版通過正方體表面積問題、多邊形對角線與頂點(diǎn)的關(guān)系問題及工廠增產(chǎn)問題的分析引出二次函數(shù)的概念，確定二次函數(shù)表達(dá)式.北師大版通過對果園問題、銀行儲(chǔ)蓄問題的分析確定了二次函數(shù)的表達(dá)式.人教版選取了三個(gè)問題，包括兩個(gè)數(shù)學(xué)模型問題和一個(gè)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)問題；北師大版選取了兩個(gè)現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)問題.加上習(xí)題中的問題情境，人教版共5個(gè)，現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)模型與數(shù)學(xué)模型比為1∶4；北師大版共選取7個(gè)，現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)模型與數(shù)學(xué)模型比為6∶1.人教版注重用數(shù)學(xué)模型，理性思維濃厚；北師大版注重生活生產(chǎn)模型，思維偏于從感性到理性認(rèn)識(shí)的發(fā)展.

三、從具體情境確定表達(dá)式方面

從具體情境確定表達(dá)式方面在兩個(gè)版本中的處理不盡相同.人教版先引用正方體表面積問題y=6x2引出二次函數(shù)表達(dá)式，這是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，學(xué)生很容易通過計(jì)算得出這樣的結(jié)果.接著教材又通過分析多邊形頂點(diǎn)與對角線的關(guān)系d=12n2-32n(d表示對角線數(shù)，n表示頂點(diǎn)數(shù))，最后分析某工廠增產(chǎn)問題y=20x2+bx+c（y表示兩年后的產(chǎn)量，x表示計(jì)劃增產(chǎn)的倍數(shù)，20為元產(chǎn)量），在分析了以上三個(gè)問題以后得出了二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常量，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).另外，人教版教材中還歸納了已學(xué)函數(shù)，并點(diǎn)明這些函數(shù)的名稱反映了函數(shù)解析式與自變量的關(guān)系.

北師大版從兩個(gè)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)問題的分析中得出了二次函數(shù)的定義.尤其果園問題，教材中將該問題細(xì)化為5個(gè)小問題，先確定變量，分清自變量與因變量，再引入符號(hào)x，y將現(xiàn)實(shí)問題抽象為符號(hào)，最后在分析問題情境中總產(chǎn)量和增種樹棵數(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用符號(hào)表示總產(chǎn)量（y）與增種樹棵數(shù)（x）之間的數(shù)量關(guān)系，再通過對自變量x的賦值計(jì)算因變量y的數(shù)值，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出符號(hào)的過程，再用符號(hào)表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系.設(shè)計(jì)非常詳細(xì)，完全遵循中學(xué)生的思維習(xí)慣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.人教版在引出二次函數(shù)表達(dá)式的過程中直接用符號(hào)表示問題情境中的量，再通過它們的數(shù)量關(guān)系得出解析式，缺少這一抽象過程，思維層次要求較北師大版高.

通過以上比較，人教版教材在問題情境的選取以及從問題情境抽象出二次函數(shù)方面的難度均高于北師大版，《標(biāo)準(zhǔn)》中對義務(wù)教育第三學(xué)段在知識(shí)和技能的目標(biāo)方面的兩個(gè)重要目標(biāo)“經(jīng)歷從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程”和“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，這是完全符合初中學(xué)生的思維水平的一個(gè)目標(biāo).尤其在函數(shù)概念學(xué)習(xí)方面，主要就是讓學(xué)生在經(jīng)歷和探索中理解函數(shù)表達(dá)式的意義，在二次函數(shù)方面，要讓學(xué)生理解二次函數(shù)主要是為哪一類型的問題建立的一種數(shù)學(xué)模型.在解決具體問題時(shí)，學(xué)生能夠通過對問題情境的分析，在了解各個(gè)變量之間的內(nèi)在關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定其函數(shù)表達(dá)式，這一抽象過程是學(xué)生在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)的一項(xiàng)基本素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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