換元轉(zhuǎn)化 快捷獲解

我們?cè)诮忸}過程中有意識(shí)地把一個(gè)或者一部分?jǐn)?shù)學(xué)式子視為一個(gè)整體用字母表示，稱之為換元.換元是數(shù)學(xué)中十分重要的一種解題思想方法.靈活地、巧妙地運(yùn)用換元方法，可把問題進(jìn)行有效地轉(zhuǎn)化，能避繁就簡(jiǎn)，化難為易，從而使問題快捷獲得解答.這里以近年各地的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題為例介紹幾種換元轉(zhuǎn)化方法，供讀者學(xué)習(xí)參考.

轉(zhuǎn)化方法之一 數(shù)字問題字母化

例1 （第17屆“希望杯”初二試題）計(jì)算2005×2006×2007×2008+1－20062=.

解 設(shè)2005=a，則2006=a＋1，2007=a+2，2008=a+3，

原式=a(a+1)(a+2)(a+3)+1-(a+1)2

=(a2+3a)(a2+3a+2)+1-(a+1)2

=(a2+3a+1)2-(a+1)2

=a2+3a+1-a2-2a-1

=a=2005.

例2 （2004年全國(guó)初一數(shù)學(xué)公開賽題）若P=22002+122003+1，Q=22003+122004+1，則P，Q的大小關(guān)系是().

A.P>Q

B.P=Q

C.P

D.不能確定

解 設(shè)22002=a，那么P=22002+12×22002+1=a+12a+1，.

Q=2×22002+14×22002+1=2a+14a+1.

∴P-Q=a+12a+1-2a+14a+1=a(2a+1)(4a+1)＞0.

∴P＞Q.應(yīng)選A.

轉(zhuǎn)化方法之二 多元問題少元化

例3 （2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已知x，y，z滿足2x=3y-z=5z+x，則5x-yy+2z的值為().

A.1

B.13

C.-13

D.12

解 由已知2x=3y-z=5z+x，得y=3x，z=32x.

代入求值式，得5x-yy+2z=5x-3x3x+3x=13.

故選B.

例4 （2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽武漢CASIO杯選拔賽題）已知a，b，c均為不等于1的正數(shù)，且a-2=b3=c6.則abc的值為().

A.3

B.2

C.1

D.12

解 由a-2=b3=c6，得a=c-3，b=c2.

代入代數(shù)式，得abc=c-3c2c=1.

例5 （2007年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二初賽試題）已知x，y，z都為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x+y-z=1，x+2y+3z=4，記w=3x+2y+z.求w的最大值與最小值.

解 聯(lián)立x+y=1+z，x+2y=4-3z，解得x=5z-2，y=3-4z.

∵x，y，z都為非負(fù)實(shí)數(shù)，

∴x=5z-2≥0，y=3-4z≥0.

從而得25≤z≤34.

那么w=3x+2y+z=3(5z-2)+2(3-4z)+z=8z.

故當(dāng)z=25時(shí)，w有最小值165，此時(shí)x=0，y=75.

而當(dāng)z=34時(shí)，w有最大值6，此時(shí)x=74，y=0.

轉(zhuǎn)化方法之三 分式問題整式化

例6 （2000年湖北省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若x-1x=1，則x3-1x3的值為().

A.3

B.4

C.5

D.6

解 設(shè)1x=y，則x-y=1，xy=1.

由(x+y)2=(x-y)2+4xy，得

x+y=(x-y)2+4xy=5.

∴原式=x3-y3=(x-y)［(x+y)2-xy］=4.

轉(zhuǎn)化方法之四 無理問題有理化

例7 （《學(xué)習(xí)報(bào)》第八屆全國(guó)數(shù)學(xué)公開賽初二試題）把(x2-2x)2-2(x2-2x)-3分解因式，得.

解 設(shè)y=x2-2x，換元后，得

原式=y2-2y-3

=(y+1)(y-3)

=(x2-2x+1)(x2-2x-3)

=(x-1)2(x+1)(x-3).