構(gòu)建活潑\\生動(dòng)\\高效的數(shù)學(xué)解題課堂教學(xué)

新課改對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育最大的觸動(dòng)是人們的教學(xué)理念發(fā)生明顯的變化，在新授課的教學(xué)中不僅關(guān)注教學(xué)內(nèi)容，更注重知識(shí)發(fā)生與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的參與程度與相應(yīng)情感的變化，突出學(xué)生的主體地位與作用.這些方面既有專家引領(lǐng)，又有很多一線老師參與，同時(shí)很多專業(yè)雜志積極配合，形成了好多優(yōu)秀的案例包括經(jīng)典的課堂教學(xué)實(shí)錄，充滿了活力.但在解題教學(xué)尤其是復(fù)習(xí)教學(xué)中，卻相對(duì)比較沉悶，因受教學(xué)容量、教學(xué)進(jìn)度等因素的影響，常常又很容易回到老路上，不是用教學(xué)案就是用PPT一道接著一道地往前講，有時(shí)學(xué)生還沒(méi)有把題目的意思完全弄明白，就已經(jīng)到了下一個(gè)題目，把學(xué)生晾在了一邊.作為老師，該講的雖然都講了，但有不少學(xué)生有時(shí)卻是一頭霧水，似懂非懂，效果自然不會(huì)好.我們認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種基本課型——數(shù)學(xué)解題課教學(xué)也需要注入活水，開(kāi)展理論與實(shí)踐方面的研究.數(shù)學(xué)解題課堂教學(xué)，首先是要選題，現(xiàn)在教學(xué)資料滿天飛，題目五花八門，選題的首要條件是體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說(shuō)明；其次是一定要符合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情；再次是需要注意所選題目有一定的思考價(jià)值，具有代表性和典型性.在具體的教學(xué)過(guò)程中，不只是一個(gè)題目給了一個(gè)解答就算完事了，要引導(dǎo)所有同學(xué)都參與到條件的分析與尋找思路的過(guò)程中去，給各種不同的想法發(fā)表見(jiàn)解的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)一題多解，既促進(jìn)個(gè)性發(fā)展，又拓寬解題思路，增加課堂思維的容量，進(jìn)行不同知識(shí)板塊間的聯(lián)系與整合，同時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練，以變求新，以變求實(shí)效，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，這樣才能實(shí)現(xiàn)高效率課堂教學(xué)，有利于構(gòu)建活潑、生動(dòng)與高效的課堂教學(xué)模式，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.

一、一題多解、縱橫聯(lián)系，讓思維活起來(lái)

同一道題，我們從不同的角度出發(fā)，可以產(chǎn)生各種各樣不同的解法，這樣既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，鼓勵(lì)學(xué)生各抒己見(jiàn)，調(diào)動(dòng)思考的積極性，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，又可以開(kāi)闊視野，增加知識(shí)容量，有效訓(xùn)練基本技能技巧，提高課堂效率.這里選題尤其重要，既要難度適中，能夠讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，又利于“借題發(fā)揮”，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用.如向量的綜合運(yùn)用，我們選擇了例1進(jìn)行訓(xùn)練與研究，收到比較好的課堂教學(xué)效果.

例1 如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，D是邊BC的中點(diǎn)，則AD#8226;BC=.

解法1 常規(guī)方法：先選擇好基向量，用基向量表示出BC和AD，然后用向量數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算.

令A(yù)B=a，AC=b，則BC=AC-AB=b-a，

AD=12(a+b)，∴AD#8226;BC=12(b2-a2）=-72.

這里解法1是處理這類問(wèn)題的通法，基本出發(fā)點(diǎn)利用平面向量基本定理，將AD和BC用基向量AB，AC表示出來(lái)，然后用向量數(shù)量積的定義計(jì)算.

解法2 用余弦定理處理：設(shè)AD=m，BD=DC=n，∠BDA=θ，則在△ABD中，

42=AB2=m2+n2-2mncosθ.

又 在△ADC中，

32=AC2=m2+n2-2mncos(π-θ)

=m2+n2+2mncosθ，

以上兩式相減，得mncosθ=-74.

∴AD#8226;BC=m#8226;2ncosθ=2mncosθ=-72.

二、類比聯(lián)想、點(diǎn)面結(jié)合，讓題目變起來(lái)

例2 已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和是Sn.若{an}是等差數(shù)列，比較Sn+1+Sn-1(n≥2)與2Sn的大小.

分析 設(shè){an}的公差是d，則Sn=na1+n(n-1)2d，

于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).

所以當(dāng)d=0時(shí)，Sn+1+Sn-1=2Sn，等價(jià)于數(shù)列{Sn}成等差數(shù)列.

當(dāng)d>0時(shí)，Sn+1+Sn-1>2Sn;

當(dāng)d<0時(shí)，Sn+1+Sn-1<2Sn.

即d≠0時(shí)，數(shù)列{Sn}不能成等差數(shù)列，這里n-1，n，n+1成等差數(shù)列，推廣一下有什么結(jié)論?

變題1 若{an}是等差數(shù)列，n

分析 易知Sn+Sk-2Sm=(n-k)2d4，結(jié)論與原題相同.

將等差數(shù)列與等比數(shù)列類比又有什么結(jié)論?

變題2 若{an}是等比數(shù)列， n

分析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，數(shù)列n，m，k的公差是d.

則q=1時(shí)，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；

q≠1時(shí)，Sn=a1(1-qn)1-q，設(shè)a11-q=A，則

Sn#8226;Sk-S2m=A(1-qn)#8226;A(1-qk)-A2(1-qm)2

=A2(-qn-qk+2qm)

=A2(-qn)(1+q2d-2qd)

=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.

當(dāng)qn<0時(shí)，SnSk-S2m>0；

當(dāng)qn>0時(shí)，SnSk-S2m<0.

顯然，數(shù)列{Sn}不能成等比數(shù)列.將數(shù)列{an}中的項(xiàng)作點(diǎn)微調(diào)便有精彩的變題：

變題3 設(shè){an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，若{Sn}成等比數(shù)列，求q的值.

分析 由條件a1=1，a2=2，

當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=2n-1(q=1)，1+21-q-21-qqn-1(q≠1)，

當(dāng)q=1時(shí)，{Sn}顯然不成等比數(shù)列；

當(dāng)q≠1時(shí)，

S2n+1-Sn#8226;Sn+2

=3-q1-q-21-q#8226;qn2-3-q1-q-21-q#8226;qn-1#8226; 3-q1-q-21-q#8226;qn+1

=2(3-q)#8226;qn-1.

所以當(dāng)q=3時(shí)，SnSn+2=S2n+1，數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列.

當(dāng)q>0且q≠3時(shí)，顯然Sn-1Sn+1≠S2n.

三、及時(shí)反思、揭示本質(zhì)，讓知識(shí)長(zhǎng)起來(lái)

例3 已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足條件：f(x+1)=-f(x)，且在［-1，0］上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的命題：

①f(x)是周期函數(shù).

②f(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱.

③f(x)在［0，1］上是增函數(shù).

④f(x)在［1，2］上是減函數(shù).

⑤f(2)=f(0).

其中真命題的序號(hào)是.

分析 由f(x+1)=-f(x)推出f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，所以f(1-x)=f(2-(1+x))=f(1+x)，即f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.故真命題的序號(hào)是：①②⑤.

本例中函數(shù)f(x)的圖像有一條對(duì)稱軸x=0，當(dāng)推出其是周期函數(shù)時(shí)，我們推出其又有另一條對(duì)稱軸x=1.那么函數(shù)的周期性與圖像對(duì)稱性是否有必然的聯(lián)系呢？學(xué)生在老師的引導(dǎo)下進(jìn)行反思，不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

結(jié)論1 一般地，函數(shù)y=f(x)是周期為T的周期函數(shù)且有一條對(duì)稱軸x=a，則它必有另一條對(duì)稱軸x=b，且T=2|a-b|.

事實(shí)上，f(b+x)=f［b+x+2(a-b)］

=f［a+(a-b+x)］

=f［a-(a-b+x)］=f(b-x)，

所以x=b是函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸.

上述命題的逆命題是：函數(shù)y=f(x)有兩條對(duì)稱軸x=a，x=b，則它是周期為T的周期函數(shù)且T=2|a-b|.此命題亦為真，與結(jié)論1互相為逆定理.類似地，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

結(jié)論2 函數(shù)y=f(x)滿足：

(1)f(a-x)=f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，反之亦然.

（2）f(a-x)=f(b+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱，反之亦然.

(3)f(a-x)+f(a+x)=m，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a，m2對(duì)稱，反之亦然.

(4)f(a-x)+f(b+x)=m，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2，m2對(duì)稱，反之亦然.

四、靈活轉(zhuǎn)化、辯證思考，讓思路寬起來(lái)

例4 已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(AB不垂直于x軸)，若AF+BF=8，過(guò)兩點(diǎn)A，B的動(dòng)圓C恒過(guò)定點(diǎn)Q(6，0)且QC⊥AB，求拋物線的方程.

分析 這里AF，BF是拋物線的焦半徑，抓住拋物線的定義，條件AF+BF=8可轉(zhuǎn)化為xA+xB+p=8.而條件“過(guò)兩點(diǎn)A，B的動(dòng)圓C恒過(guò)定點(diǎn)Q(6，0)且QC⊥AB”等價(jià)于線段AB的中垂線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(6，0)，則有多種轉(zhuǎn)化途徑.

轉(zhuǎn)化1 設(shè)直線AB和拋物線的方程分別是y=kx+n(k≠0)，y2=2px(p>0).聯(lián)立方程并消去x，得ky2-2py+2pn=0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)T(x0，y0)，則

y1+y2=2pk，y1y2=2pnk，

∴x1+x2=1k(y1+y2-2n)=1k2pk-2n.

又 x1+x2=8-p，

∴有4-p2=pk2-nk.①

又 Tpk2-nk，pk，

∴AB中垂線的方程是y-pk=-1kx-pk2+nk，

把Q(6，0)代入，得pk2-nk=6-p.②

由①②，得p=4，∴拋物線的方程是y2=8x.

轉(zhuǎn)化2 設(shè)拋物線的方程是y2=2px(p>0).

A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)T(x0，y0)，則有

y21=2px1，①

y22=2px2.②

兩式相減并整理，得y1-y2x1-x2=py0.

∴線段AB的中垂線方程是y-y0=-y0p(x-x0)，

把Q(6，0)代入，得x0=6-p.③

又 x1+x2=8-px0=4-p2.④

由③和④，得p=4，∴拋物線的方程是y2=8x.

轉(zhuǎn)化2采用點(diǎn)參數(shù)結(jié)合點(diǎn)差法處理，巧用拋物線中點(diǎn)弦性質(zhì)，過(guò)程流暢、簡(jiǎn)捷，是解決這類題型的通用方法，這種處理比轉(zhuǎn)化1實(shí)用、方便.

轉(zhuǎn)化3 設(shè)拋物線的方程是y2=2px(p>0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2).由條件

|QA|=|QB|(x1-6)2+y21=(x2-6)2+y22(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.

又 x1≠x2，∴x1+x2-12+2p=0.

把x1+x2=8-p代入，得p=4.∴拋物線的方程是y2=8x.

這里線段AB的中垂線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(6，0)有三種基本的轉(zhuǎn)化途徑.轉(zhuǎn)化1思路自然，但參數(shù)個(gè)數(shù)多，處理難度大；轉(zhuǎn)化2用點(diǎn)差法揭示弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦斜率的關(guān)系，處理起來(lái)相對(duì)比較簡(jiǎn)便；轉(zhuǎn)化3緊緊扣住條件|QA|=|QB|進(jìn)行處理，實(shí)質(zhì)上還是點(diǎn)差法，但表達(dá)更加方便.同一個(gè)條件有多種轉(zhuǎn)化，不同的學(xué)生會(huì)選擇不同的轉(zhuǎn)化，只要能夠解決問(wèn)題，都是可以的，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化.當(dāng)然老師可以引導(dǎo)學(xué)生比較各種方法的長(zhǎng)處與不足，在今后學(xué)習(xí)中借鑒.

解題教學(xué)是引導(dǎo)同學(xué)由知識(shí)上升為能力的重要途徑，如何揭示方法的本質(zhì)，舉一反三，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，實(shí)施高效率的解題教學(xué)是我們追求的目標(biāo)，這里無(wú)論是理論方面還是實(shí)踐方面都有值得探討的價(jià)值.我們提出讓題目活起來(lái)，增強(qiáng)師生互動(dòng)，可以更好地體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，推動(dòng)有效教學(xué)的展開(kāi)，讓學(xué)生學(xué)得輕松、高效.一直堅(jiān)持做下來(lái)，我們的學(xué)生會(huì)更有靈氣，更可愛(ài).同時(shí)我們也希望學(xué)習(xí)到同行更好的做法，推動(dòng)新課改不斷走上新臺(tái)階.