三段型結(jié)構(gòu)數(shù)列的有效講解

【摘要】本文以2010年汕頭高考“一模”試題數(shù)學(xué)（理科）20題為例講述對于形如由引入遞推公式、數(shù)列性質(zhì)，與不等式結(jié)合的三段型結(jié)構(gòu)數(shù)列解答題.

【關(guān)鍵詞】遞推；分析

例 已知正項數(shù)列{an}的首項a1=m，其中0

（1）若數(shù)列{an}滿足an+1=f(an)(n≥1且n∈N)，證明1an是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式.

（2）若數(shù)列{an}滿足an+1≤f(an)(n≥1且n∈N)，數(shù)列{bn}滿足bn=an2n+1，試證明b1+b2+…+bn<12.

首先分析題目結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)本題目符合三段型結(jié)構(gòu)數(shù)列，應(yīng)從遞推公式引入部分入手，引入部分常可分為直接給出遞推公式與間接引入兩種主流：其中有用圖像方式引入與用函數(shù)方式引入.例題是以函數(shù)方式引入，只需簡單運(yùn)用代入法則可求解.

解 （1）∵f(x)=x1+2x且an+1=f(an)，

∴an+1=an1+2an.

由此得到遞推公式部分，這是解答題的關(guān)鍵部分，其分值較多，對于學(xué)生要掌握好幾種常見題型的解題方法.常見的有以下幾種方式：

Ⅰ.Sn與Sn-1：運(yùn)用構(gòu)造法將n換成n+1，或?qū)換成n-1構(gòu)造Sn+1與Sn，再用求差法可將其化為an-1與an形式.

例1 ［中山市2010年上學(xué)期末高三考試數(shù)學(xué)試卷(理科)19］已知數(shù)列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.

解 由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4.

兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1=2an+1.

Ⅱ.Sn與an：利用an=Sn-Sn-1運(yùn)用構(gòu)造法將n換成n+1，或?qū)換成n-1構(gòu)造Sn+1與Sn，再用求差法將其化為an-1與an形式.

例2 ［佛山市2010年第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷(理科)21］已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=12nan+1(n∈N*)，其中a1=1.

解 當(dāng)n≥2時，由an=Sn-Sn-1=12nan+1-12(n-1)an，得(n+1)an=nan+1.

Ⅲ.an-1與an：構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，其中要掌握下面幾種類型：

①系數(shù)同+常數(shù)型：可化為等差數(shù)列求an.例如，a1=1，an+1=an+4，化數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為4.

②系數(shù)同+變數(shù)型：可用連加法求an.例如，a1=1，an+1=an+n.

③系數(shù)不同+常數(shù)型：可構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列求an.例如，a1=1，an+1=2an+3.

④系數(shù)不同+變數(shù)型：先化變數(shù)為常數(shù)，再構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列求an.例如，a1=1，an+1=3an+2n+1.

⑤冪指數(shù)型：可先用對數(shù)法，再構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列求an.例如，a1=3，an+1=a2n.

⑥分式型：可用分離常數(shù)法（或倒數(shù)離法）.例如，a1=1，an+1=an2an+1.

講解上述內(nèi)容后繼續(xù)解答例題：

解 （接上）∵an+1=an1+2an，

∴1an+1=1+2anan=1an+2，即1an+1-1an=2.

∵a1=m，∴1a1=1m.

∴數(shù)列1an是以1m為首項，2為公差的等差數(shù)列.

∴1an=1m+2(n-1)，∴an=m1+2(n-1)m(n∈N且n≥1).

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=m1+2(n-1)m(n∈N且n≥1).

最后是數(shù)列與其他知識結(jié)合部分，最常見的是數(shù)列與不等式結(jié)合，其中常考數(shù)列求和Sn，要讓學(xué)生掌握下面兩種求和方法：

①裂項相消法求和：適用于canan+1，其中{an}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)，如部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等.例如，an=1n(n+2)=121n-1n+2.口訣：小左大右中逗號，常不變，差為母.

②錯位相減法求和：適用于{anbn}，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項不為0的等比數(shù)列.例如，Cn=(2n+1)3n.可利用課本必修5第62頁中等比數(shù)列的前n項和公式Sn推導(dǎo)方法.同時注意到與不等式結(jié)合：常見有Sn>m與Snm形式，則用探求數(shù)列到某i項時和Si≥m，從而證明Sn>m.講解后繼續(xù)解答例題.

解 （2）由（1）知0

∴1an+1-1an≥2，

∴1a2-1a1≥2，1a3-1a2≥2，1a4-1a3≥2，…，1an-1an-1≥2，

則1an-1a1≥2(n-1).

而a1=m，則an≤m1+2(n-1)m.

∵01.

∴ai≤m1+2(i-1)m=11m+2(i-1)<12i-1，i=1，2，3，…，n.

∴bi=ai2i+1≤1(2i+1)(2i-1)=1212i-1-12i+1，i=1，2，3，…，n.

∴b1+b2+b3+…+bn

=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1

=121-12n+1<12.

通過這樣講解，讓學(xué)生明白三段型結(jié)構(gòu)數(shù)列的解題思路及其應(yīng)對常見問題的解決方法，收到較好效果.