例談新課程應注重對學生數學思維的培養

【摘要】數學教學的核心是培養和發展學生的思維能力，習題教學能有效地提煉和推廣課本知識，特別是“一題多解”，能極大地拓展學生數學思維，達到對學生進行思維訓練的目的.

【關鍵詞】數學教學；三角函數線；數學思維

我省于2010年開始新課程改革，使用的教材是人教A版，在使用新教材進行教學工作的近一年里，我深切地體會到數學教學既是數學知識的教學，又是數學思維的教學.其中，知識是基礎，地位不可動搖，但不能單單只強調知識而忽視數學思維的教學.因此在數學教學中，不僅需要傳授有用的數學知識，還應重視調動學生思維的積極性，培養學生良好的思維習慣，使學生的思維能力得到有效地提高.

在必修A學習完“三角函數的誘導公式”后，有這樣一道題目：

已知sinx+cosx=15，且x∈(0，π)，則tanx等于多少？

在教學過程中，學生與我共同探討，從不同的角度出發，得到了以下三種解法：

解法一 ∵sinx+cosx=15，sin2x+cos2x=1，x∈(0，π)，

∴1-cos2x+cosx=15，解得cosx=－35.

當cosx=－35時，sinx=45，則tanx=sinxcosx=－43.

解法二 ∵sinx+cosx=15，

∴（sinx+cosx）2=125，解得2sinxcosx=－2425.

又 ∵x∈(0，π)，∴sinx＞0，cosx＜0，

∴sinx－cosx＞0，

∴sinx－cosx=(sinx+cosx)2-4sinxcosx=75.

聯立sinx+cosx=15與sinx－cosx=75，

解得sinx=45，cosx=-35，∴tanx=－43.

解法三 ∵sinx+cosx=15，

∴（sinx+cosx）2=125，

∴sin2x+2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x=125，

即tan2x+2tanx+1tan2x+1=125.

解得tanx=－43或－34.

∵tanx＜0，∴x∈π2，π，

∴sinx＞0，cosx＜0.

又∵sinx+cosx=15＞0，∴|sinx|＞|cosx|.

設x的終邊與單位圓的交點為P，MP，OM，AT分別為其正弦線、余弦線和正切線（見圖示）.P′為3π4的終邊與單位圓的交點，AT′為其正切線.

∵|sinx|＞|cosx|，∴π2＜x＜3π4，則有|AT|＞|AT′|，

即tanx＞tan3π4=－1，∴tanx=－43.

解法一直接從題設出發，由“同角三角函數的基本關系”很容易得到其解法，其注重對課本基礎知識的考查.解法二技巧性較強，但若能得到“sinx－cosx=75”，則通過聯立方程就很容易得到sinx與cosx進而解得tanx.解法三的靈感來源于《普通高中課程標準實驗教科書數學A（必修1）》（人教A版）第22頁的第三題：已知tanx=2，求sinx+cosxsinx-cosx的值.該解法巧妙地將分母“1”轉化為sin2x+cos2x，既體現了一種逆向思維，又為學生提供了一種靈活的轉換技巧，可謂是“一石二鳥”.解答的關鍵在于通過三角函數線對解得的tanx進行驗證.新教材中對任意角的三角函數是通過單位圓來定義的，這就使得學生對三角函數線的認識更為全面和深刻，因此上述驗證過程不但沒有成為學生解題的障礙，還打開了學生的解題思維，并進一步加深了學生對三角函數線的認識.

《普通高中數學課程標準（實驗）》中，在“數學思考”目標中強調數學認識過程的重要性，指出學生要經歷觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹和類比與證明等數學活動過程，并且在這種過程中發展數學思維，形成良好的思維品質，提高思維水平，這就要求作為數學教師的我們在日常教學中對于課本呈現的知識體系不能拘泥于形式，要進行必要的提煉和推廣，達到對學生進行思維訓練的目的.