例談從特殊到一般思維方法的培養(yǎng)

【摘要】我們的教學(xué)不是教學(xué)生會做幾道題，關(guān)鍵是要教會他們思維的方法.本文從一道題的解答和學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思維方法，也希望和同行共同探討數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】特殊到一般；錯位排列

在習(xí)題教學(xué)中，我們不僅僅要教會學(xué)生某一道題的解法，更應(yīng)該重視思想方法的培養(yǎng)，這是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的需要，從特殊到一般的思維方法是中學(xué)數(shù)學(xué)重要方法之一.在解題教學(xué)中，如果鼓勵學(xué)生能進(jìn)一步思考，從特殊總結(jié)、歸納一般規(guī)律，這不僅對以后做題有所啟發(fā)，達(dá)到事半功倍的效果，而且對學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).下面是我在教學(xué)中對一道排列組合問題的教學(xué).

問題 一個宿舍有四名同學(xué)，元旦到來之際，每名同學(xué)都自制了一張賀年卡并送給同宿舍的同學(xué)，要求每人一張并且不能拿自己的，問：有多少種不同的送卡方法？

一般解法 設(shè)四名同學(xué)分別為A，B，C，D，他們制作的賀卡分別為a，b，c，d，分步完成.第一步：A有三種選法，第二步：若第一步A選b，則B有三種選法，第三步：C，D各只有一種選擇，因此共3×3×1×1=9（種）送法.

思考一 此時鼓勵學(xué)生思考，此種做法適合于數(shù)字較少時，如果將人數(shù)改為5人，則此法較難（讓學(xué)生體驗），進(jìn)而提出，我們能不能找到一種更為一般的方法呢？

先形成特殊到一般的轉(zhuǎn)化，將數(shù)字改變?yōu)?，3，4，5，…

我們不妨把此類問題稱為錯位排列.

編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，此時的錯位排列數(shù)記為f(n).

我們由淺入深地研究此類問題.

（1）當(dāng)n=2時，f(2)=1（由學(xué)生完成）.

（2）當(dāng)n=3時，（剔除逆向思維，先由學(xué)生討論、交流、總結(jié)）我們不妨從反面考慮，3個的錯位排列的反面包括恰有一個球?qū)μ柸胱?個球錯位）和恰有2球?qū)μ柸胱ù藭r也就是3球?qū)μ柸胱?

所以f(3)=A33-C13f(2)-1=2.

（3）當(dāng)n=4時，f(4)=A44-C14f(3)-C24f(2)-1=9.

（4）當(dāng)n=5時，f(5)=A55-1-C35×1-C25×2-C15×9＝44.

用此法可以逐步計算：6個、7個、8個、……元素的錯位排列問題.

形成第一個一般結(jié)論：

即f(n)=Ann-C1nf(n-1)-C2nf(n-2)-…-Cn-2nf(2)-1.

思考二 此時不應(yīng)結(jié)束，再次分析公式不足，上面的公式仍有局限性，在數(shù)字稍大時亦不易解決，那么有沒有更為一般的公式呢？（體現(xiàn)學(xué)無止境）

我們不妨從容斥原理的角度考慮此題，（定義A00=0！=1）

則f(4)=A44-C14A33+C24A22-C34A11+C44A00.

推廣：

f(n)=Ann-C1nAn-1n-1+C2nAn-2n-2-C3nAn-3n-3+…+ (-1)n-2Cn-2nA22+(-1)n-1Cn-1nA11+(-1)nCnnA00

=n!-n(n-1)!+n!2!(n-2)!(n-2)!- n!3!(n-3)!(n-3)!+…+ (-1)n-2n!2!(n-2)!2!+ (-1)n-1n!1!(n-2)!1!+(-1)n

=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

即n個元素的錯位排列數(shù)公式為

f(n)=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

及時鼓勵學(xué)生，在學(xué)習(xí)上要勇于探索，不怕困難，只要努力，必有收獲.

應(yīng)用舉例：（由學(xué)生完成）.

例1 （2004年湖北理）將標(biāo)號為1，2，…，10的10個球放入標(biāo)號為1，2，…，10的10個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球，則恰好有3個球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法共有種.（以數(shù)字作答）

解析 分析此題是3個元素的錯位排列問題.

f(n)=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

又將n=3代入，得f(3)=3!12!-13!=3-1=2.

故所求方法共有C310×f(3)=240(種).

例2 編號為1至7的7個小球放入編號為1至7的7個盒子里，每個盒子放一個小球，其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有種.

解析 分析此題是5個元素的錯位排列問題.

因為f(n)=

n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!，

所以將n=5代入，得

f(n)=5!12!-13!+14!-15!=60-20+5-1=44.

故所求方法共有C57×f(5)=924(種).

在學(xué)習(xí)中，我們要不斷思考、創(chuàng)新，這樣才能領(lǐng)悟到其精髓所在，才能舉一反三，事半功倍.在教學(xué)中，我們應(yīng)大膽鼓勵學(xué)生去創(chuàng)新，去開拓思維，并為學(xué)生思維的培養(yǎng)創(chuàng)造情景.