注重題后反芻,提高數(shù)學(xué)解題能力

要提高數(shù)學(xué)解題能力，除了正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，善于分析題意，選擇解題途徑，還必須在解題后對(duì)解題過(guò)程加以分析、歸納、總結(jié).為此，我們?cè)谄綍r(shí)數(shù)學(xué)解題時(shí)，不妨進(jìn)行以下幾點(diǎn)嘗試.

一、歸納解題過(guò)程中運(yùn)用到的知識(shí)點(diǎn)

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要通過(guò)解題對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念、規(guī)律、公式加以理解，逐步培養(yǎng)和提高分析問(wèn)題的能力.所以，一道題解完后，應(yīng)認(rèn)真分析、歸納在解題過(guò)程中用到的有關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式、定理，以便加深理解和領(lǐng)會(huì)，并由此發(fā)現(xiàn)某些知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

例1 不查表求cos216°+cos214°-3cos16°cos14°的值.

解 原式=1+cos32°2+1+cos28°2-32(cos30°+cos2°)

=12(cos32°+cos28°)-32cos2°+14

=cos30°cos2°-32cos2°+14=14.

分析 本題還有許多解法，在這一解法中我們用到了降冪公式、三角公式，用到了特殊角的三角函數(shù)值.我們?cè)诮忸}時(shí)已經(jīng)注意到16°+14°=30°是特殊角，而運(yùn)用兩角和公式可以形成特殊角的三角函數(shù)值，這是我們能夠順利地解答本題的重要因素之一.

如果作進(jìn)一步分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原式的值14=122=sin230°.注意到：

cos216°+cos214°-3cos16°cos14°

=sin274°+sin276°-22sin74°sin76°cos30°，

即sin30°=sin274°+sin276°-2sin74°sin76°cos30°.①

由74°+76°+30°=180°我們聯(lián)想到①式就是余弦定理的形式，我們所求的實(shí)際上是直徑為1的圓內(nèi)接三角形中30°角所對(duì)邊長(zhǎng)的平方，因?yàn)?0°是特殊角，所以總可以不查表求其值.

二、嘗試一題多解，培養(yǎng)思維能力

做完一道題后，應(yīng)該想一想還可以用哪些方法求解，將可能的解法寫(xiě)出來(lái)，再一一嘗試，看得出的結(jié)果是否一致，同時(shí)比較一下各種方法的異同、繁簡(jiǎn)和優(yōu)劣，這樣便于我們打破常規(guī)思維定勢(shì)，找到具有創(chuàng)新精神的解題方法.

例2 求函數(shù)y=3(x+2)+8-x的最大值.

解法1 由x+2≥0且8-x≥0，

得-2≤x≤8，即-5≤x-3≤5.

令x-3=5cosθ(0≤θ≤π)，即x=3+5cosθ.

代入原式，得

y=15(1+cosθ)+5(1-cosθ)

=30cosθ2+10sinθ2

=21032cosθ2+12sinθ2

=210sinθ2+π3≤210

其中π3≤θ2+π3≤5π6.

當(dāng)θ2+π3=π2，即θ=π3，x=112時(shí)，y取最大值210.

解法1根據(jù)-5≤x-3≤5，結(jié)合余弦函數(shù)的有界性，通過(guò)三角換元，將復(fù)雜的無(wú)理函數(shù)化歸為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求解.下面我們不妨再?gòu)钠椒脚c代數(shù)換元的角度試試看，是否可求解.

解法2 y2=3(x+2)+(8-x)+23(x+2)(8-x)

=(3+1)［(x+2)+(8-x)］- ［3(8-x)-x+2］2

=40-［3(8-x)-x+2］2≤40.

∵y>0，∴y≤210.

當(dāng)3(8-x)=x+2，即x=112時(shí)，ymax=210.

解法3 令x+2=t，則

8-x=10-t2(0≤t≤10).

代入原式，得

y=3t+10-t2(0≤t≤10).

再引入變量m，使m=10-t2(m≥0)，①

從而有m=-3t+y(0≤t≤10).②

在直角坐標(biāo)系tOm內(nèi)分別作出①②的圖像（如圖），則y的最大值即為直線段②與①相切時(shí)②在m軸上的截距.由圖易知y的最大值為210.

上面解法說(shuō)明，平方結(jié)合重新分組配方或換元后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)思想是可行的，解法2與解法3使我們走出了常規(guī)思路，解決問(wèn)題的思維能力達(dá)到了一個(gè)新的高度.

三、學(xué)會(huì)一題多問(wèn)，進(jìn)行自我訓(xùn)練

認(rèn)真分析一下我們所做過(guò)的題目許多練習(xí)還可以提出一些新的問(wèn)題，值得我們思考并加以研究，如可以看逆命題是否成立，也可以將條件稍加改動(dòng)，由特殊性變成一般性或由一般性變?yōu)樘厥庑裕屛覀兝^續(xù)思考，這樣我們將收到事半功倍的效果.

進(jìn)一步分析例1，我們又可以發(fā)現(xiàn)更一般地：設(shè)0<α<180°，0<β<180°，且α+β=γ（γ為特殊角），求sin2α+cos2β+3sinαsinβcosγ的值.

如研究例2中的解法2.由(x+2)2+(8-x)2=10（定值）可以得到y(tǒng)2=（定值M）-（完全平方式）≤定值M.由此我們還可以將例2改為更具有一般性的問(wèn)題：

設(shè)a，b都是正數(shù)，變量μ≥0，ν≥0，且μ2+ν2=M（定值），求函數(shù)y=aμ+bν的最大值.