從幾個教學案例淺談獨立學院概率統計教學

【摘要】本文結合獨立學院學生特點，根據獨立學院概率統計教學的實際，提出在概率統計教學中應適時培養學生的學習興趣，教給學生學習知識的方法，提高學生認識事物、解決實際問題的能力.

【關鍵詞】獨立學院；概率統計教學

概率統計是一門重要的大學數學基礎課，主要研究隨機現象的規律性，在經濟、金融、工程、管理等學科領域有廣泛應用.概率統計屬隨機數學，與之前學生接觸過的其他數學課程相比，無論從思想方法還是解題邏輯上都有很大不同.對很多學生來說，很難在較短時間內準確理解和把握，尤其對于獨立學院的部分學生，他們的數學基礎相對比較薄弱，因此在概率統計教學中結合背景知識，建立抽象數學理論與現實的橋梁，增強學生學習此門課的興趣很有必要.

一、從學生熟悉的生活問題出發

例1 （生日問題）某班級有n個人（一年按365天計算，n<365），問：至少有兩個人的生日在同一天的概率是多大?

此問題先讓學生自己回答，肯定有不少學生認為這件事情發生的可能性不會很大，因為他們一直覺得在自己身邊有人跟自己在同一天生日是件很難得的事情，同時也能調動他們參與解決此類問題的積極性.

解 令A={至少有兩個人的生日在同一天}，A的情況比較復雜，但A的對立事件A={n個人的生日全不相同}出現的概率很容易計算：P(A)=Cn365n!365n=365!365n(365-n)!，從而P(A)=1-P(A)=1-365!365n(365-n)!.

對于不同的n值，計算得相應的P(A)如下表所示：

表中所列出的數據足以引起大家的驚奇，原來“一個班級中至少有兩個人生日相同”這個事件發生的概率并不是如大多數人想象的那樣小，在僅有64人的班級里，“至少有兩個人的生日在同一天”的概率與1相差無幾，幾乎總是會發生，與我們的感覺大相徑庭，因此“直覺”并不總是很靠譜，這樣學生對此類問題肯定印象深刻.

二、結合學生專業特長適當延伸

例2 每箱產品有10件，其次品數從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取1件，如果發現是次品，則認為該箱產品不合格而拒收.計算若某箱產品已通過驗收，它確實沒有次品的概率.

解 設事件B表示“產品通過驗收”，Ai(i=0，1，2)表示“箱中有i件次品”.

P(Ai)=13，P(B|Ai)=10-i10，(i=0，1，2)

P(A0|B)=P(A0)P(B|A0)∑2i=0P(Ai)P(B|Ai)=13910=1027.

按照慣例，這個題目到此本該結束.但是，如果在課堂上能結合學生的專業特點把此問題延伸一下，應該會有不一樣的效果.比如是在給國際經濟貿易專業的學生上課，就讓他們針對這個“小貿易”問題發表一下自己的看法.很明顯，在某箱產品通過驗收的情況下它確實沒有次品的概率為1027，這個值不算大，如果是他們自己在做這個生意，是按照這個現狀繼續生產僥幸過關，還是提高生產標準？按照這個現狀繼續生產，總會被查到有不合格品的時候，這樣生意就做不下去了，因眼前利益而斷了長遠發展；如果提高生產標準，每次檢驗都過關，這樣商家就會放松檢驗力度，有可能隨著時間推移就不抽樣檢驗了，“免檢”就是由此而來的.

三、把課堂交給學生，自然引入抽象概念

例3 （分賭本問題）法國數學家帕斯卡提出一個使他苦惱長久的分賭本問題：甲乙兩賭徒，賭技相同，各出賭注50法郎，設每局中無平局.他們約定，誰先贏三局，則得全部賭本100法郎.當甲贏了兩局、乙贏了一局時，因故必須中止賭博.現問：這100法郎如何分才算公平？

把課堂交給學生，讓他們自己來討論這個分賭本的問題，討論的結果主要集中為三類：平均分、全部歸甲、按比例分.平均分和全部歸甲顯然有失公平.應按比例分，甲多分而乙少分.問題的焦點：應按怎樣的比例來分？

（1）甲得100法郎中的23，乙得100法郎中的13.(這是基于已賭局數考慮的：甲贏了兩局、乙贏了一局.)

（2）帕斯卡提出如下的分法：設想再賭下去，則甲的最終所得X為一個隨機變量，它的可能取值為0或100.如再賭下去，分出輸贏，只需再賭兩局必可結束.其結果不外乎有2×2=4（種）情況之一發生：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.其中“甲乙”表示第一局甲勝第二局乙勝.因為賭技相同，所以在這四種情況中有三種可使甲獲得100法郎，只有一種情況（乙乙）下甲獲得0法郎.所以甲獲得100法郎的可能性為34，獲得0法郎的可能性為14，即X的分布列為：

綜上分析，甲的“期望”所得應為0×0.25+100×0.75=75(法郎)，這就是以概率為權的加權平均，即甲得75法郎，乙得25法郎.這種分法不僅考慮了已賭局數，而且包括了對再賭下去的一種“期望”，它比(1)更為合理，這就是“數學期望”這個名稱的由來，學生更容易理解和接受.

四、把理論生活化

例4 關于估計量的無偏性問題.

不少同學對無偏估計的理解不是很到位，如果接著講“無偏性只是評價估計量的一個標準，不是說無偏估計量一定是好的”，學生就更納悶了.但是，舉一個簡單的生活例子，學生就很容易接受：有一只手表，時快時慢，每到整點的時候總是準的，此表可作為標準時間的無偏估計；另一只手表總是慢十分鐘，是標準時間的有偏估計.不過很明顯，第二只手表對掌握具體時間是更有幫助的.

教學有法，但無定法，貴在得法.抽象的數學概念、公式的介紹要做到吃透教材，結合獨立學院學生特點，從實際背景和形成過程出發，用簡單明了、通俗易懂的方式幫助學生在接受、理解的基礎上掌握、靈活運用，從而提高學生學習的興趣和自信心，增強創新意識和實踐能力.