高中學(xué)生在解題時(shí)最易忽略的幾種思維意識(shí)

筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生缺少必要的解題思維意識(shí)，表現(xiàn)在解題中或無(wú)從下手，或頻頻出錯(cuò)，或過(guò)程繁冗.在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，筆者從強(qiáng)化思維意識(shí)這個(gè)角度入手，取得了較好的效果.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)梳理學(xué)生在解題中最易忽略的幾種思維意識(shí)，談些個(gè)人的粗淺體會(huì).

1.定義域意識(shí)

定義域意識(shí)也即范圍意識(shí)，變量范圍是變量存在或不存在的前提，應(yīng)時(shí)時(shí)不忘變量范圍對(duì)變量的限制.而學(xué)生在解題過(guò)程中，由于范圍考慮不慎，出現(xiàn)錯(cuò)解的現(xiàn)象比比皆是，實(shí)在令人痛惜!為了避免因范圍引起的錯(cuò)誤，必須強(qiáng)化“定義域意識(shí)”.

例1 已知f(x)=2+log3x，x∈［1，9］，則y=f2(x)+f(x2)的最大值為.

誤解 易得y=log23x+6log3x+6，令log3x=t.

∵x∈［1，9］，∴t∈［0，2］.

從而，y=t2+6t+6=(t+3)2-3，故當(dāng)t=2時(shí)，ymax=22.

說(shuō)明 該例是高三一輪復(fù)習(xí)函數(shù)專題里常見(jiàn)的一道題目，筆者曾在整個(gè)高三年級(jí)作過(guò)統(tǒng)計(jì)，錯(cuò)誤率竟高達(dá)86%.錯(cuò)誤的根源就是“定義域意識(shí)”的缺失.也只有少部分同學(xué)考慮到了：對(duì)于函數(shù)y=f2(x)+f(x2)，因?yàn)閤∈［1，9］且x2∈［1，9］，所以其定義域?yàn)椋?，3］，從而，令log3x=t換元后，t∈［0，1］，故當(dāng)t=1時(shí)，ymax=13.

體會(huì) 對(duì)概念、公式、定理等存在的前提（常常涉及范圍）進(jìn)行全面而深刻的分析，解題中保持變量范圍的等價(jià)性（如“換元”后立即寫出“新元”范圍），重視從條件中挖掘隱含范圍，準(zhǔn)確區(qū)分和限制多變量問(wèn)題中的變量范圍，善于構(gòu)造不等式或運(yùn)用函數(shù)思想求解變量的范圍等，均是強(qiáng)化定義域意識(shí)的重要渠道.

2.審題意識(shí)

審題過(guò)程是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S活動(dòng)過(guò)程，而且審題又是正確、迅速解題的基礎(chǔ)和前提，但不少學(xué)生常常對(duì)此掉以輕心，致使解題失誤或陷入繁冗之中.

例2 設(shè)集合P＝{y|y=x2，x∈R}，Q＝{y|y=2-|x|，x∈R}，求P∩Q.

誤解 由y=x2y=2-|x|x=1，y=1或x=-1，y=1，

∴P∩Q＝{（1，1），（－1，1）}.

分析 以上誤解正是由于審題不細(xì)致引起的，有些同學(xué)總意識(shí)不到“抓代表元素的屬性”是認(rèn)清集合本質(zhì)的關(guān)鍵.實(shí)際上集合P，Q皆為數(shù)集（它們都是函數(shù)的值域），化簡(jiǎn)可得P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y≤2}，∴P∩Q＝{y|0≤y≤2}.

體會(huì) 平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成善于認(rèn)清已知、明確所求、抓好關(guān)鍵詞、挖掘隱含條件等良好的審題意識(shí)、審題習(xí)慣.這對(duì)于成功解題至關(guān)重要，而這些也恰恰是相當(dāng)一部分同學(xué)的薄弱環(huán)節(jié).

3.求簡(jiǎn)意識(shí)

從教學(xué)實(shí)踐和各種檢測(cè)可以看出，目前中學(xué)生的“求簡(jiǎn)意識(shí)”普遍不強(qiáng)，而求簡(jiǎn)意識(shí)又是正確、迅速解題的需要和保證，忽略了求簡(jiǎn)意識(shí)的解題往往過(guò)程繁瑣，甚至導(dǎo)致錯(cuò)解.

例3 設(shè)定義在［-2，2］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞減，若f(1-m)

分析 學(xué)生拿到此題，常選擇如下思路：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后對(duì)變量1-m與m所在區(qū)間討論（一不小心還會(huì)出現(xiàn)討論“遺漏”情形），致使解題陷入冗繁之中.本題求簡(jiǎn)的關(guān)鍵是：利用f(x)是偶函數(shù)，結(jié)合f(x)在區(qū)間［0，2］上遞減，從而f(x)在區(qū)間［-2，0］上遞增，這樣條件“f(1-m)|m|.這樣的脫“f”過(guò)程，就避免了不必要的分類討論.當(dāng)然還不應(yīng)忽略定義域［-2，2］對(duì)兩變量“1-m”與“m”的限制.故由|1-m|>|m|，-2≤1-m≤2，-2≤m≤2-1≤m<12.

體會(huì) 要讓學(xué)生具備求簡(jiǎn)意識(shí)，一方面，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生“求簡(jiǎn)”，及時(shí)總結(jié)、反思、領(lǐng)悟；另一方面，學(xué)生應(yīng)充分主動(dòng)地進(jìn)行靈活扎實(shí)的思維訓(xùn)練和解題實(shí)踐.

4.估算意識(shí)

許多選擇題都有一定的運(yùn)算量，需要進(jìn)行一些運(yùn)算方能獲解，但是往往又可以通過(guò)深層次的思維減小運(yùn)算量，只需進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的估算即可判斷出結(jié)果.

例4 （1999年高考第10題）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92

B.5

C.6

D.152

分析 求該不規(guī)則多面體（楔體）的體積按常規(guī)思路，采用分割法或補(bǔ)形法，轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，雖可以獲解，但需要一定的運(yùn)算量.若連BE，CEVABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，而VE-ABCD=13#8226;h#8226;SABCD=13×2×32=6，故可由局部估算出整體VABCDEF>6，選D.

體會(huì) 數(shù)學(xué)估算的基本方法有近似計(jì)算、由特殊估算一般、由局部估算整體、由一般規(guī)律估算個(gè)體情況等.現(xiàn)在廣泛使用的特例法（也稱特值法），其實(shí)就是一種簡(jiǎn)單的估算，讓學(xué)生了解估算的意義，增強(qiáng)估算意識(shí)，對(duì)提高處理實(shí)際問(wèn)題的能力大有裨益.

5.動(dòng)態(tài)思維意識(shí)

有些問(wèn)題按常規(guī)思路求解，思維容易受阻或運(yùn)算較繁.若能將研究的問(wèn)題置于運(yùn)動(dòng)的情景之中，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)（有時(shí)還要結(jié)合極限思維考慮極端位置）來(lái)處理，則會(huì)使思路新穎、解法簡(jiǎn)捷.這就是動(dòng)態(tài)思維意識(shí).

6.正難（繁）則反意識(shí)

對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)從正面思考難以奏效（或正面研究情形較繁）時(shí)，就可以嘗試從反面入手.這就是正難（繁）則反意識(shí)，如常用的補(bǔ)集法、反證法或舉反例等，其實(shí)質(zhì)是一種逆向思維.

7.特殊化與一般化意識(shí)

特殊包含于一般之中，凡一般情況下具有的性質(zhì)，特殊情況下也應(yīng)具有；而在特殊情況下不具備的，一般情況下也必不具備.常可利用該關(guān)系將問(wèn)題作“特殊化”或“一般化”處理.

（1）利用“一般情況下正確的命題，在特殊情況下也正確”這一性質(zhì)來(lái)解題.

（2）利用“在特殊情況下錯(cuò)誤的命題，在一般情況下也必錯(cuò)誤”這一性質(zhì)來(lái)解題.

8.解題后的反思意識(shí)

所謂反思，就是對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思維過(guò)程從全方位、多角度、不同層次進(jìn)行考察、分析和思考.教師在平時(shí)的教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一些反思和探索.通過(guò)反思，一方面，可以使學(xué)生意識(shí)到思維過(guò)程的不足，從而能夠主動(dòng)去完善解題過(guò)程；另一方面，也可以提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，訓(xùn)練他們思維的嚴(yán)密性和批判性，有利于在原有基礎(chǔ)上建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于他們養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)作風(fēng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，是一個(gè)極其重要而又容易被忽視的環(huán)節(jié).著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)得好：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”

反思是一種積極的思維活動(dòng)和探索行為，反思是發(fā)現(xiàn)的源泉，是開(kāi)發(fā)解題智慧、優(yōu)化思維品質(zhì)的可靠途徑.很多數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)的技能技巧，沒(méi)有學(xué)生的反思、沒(méi)有學(xué)生的體驗(yàn)和感悟是無(wú)法真正變成學(xué)生自己的，這一點(diǎn)是毋庸置疑的.

而從調(diào)查反饋來(lái)看，大部分中學(xué)生的“反思意識(shí)”尤為淡薄，筆者認(rèn)為有兩方面的原因：一是缺少教師的示范，二是學(xué)生不良的解題習(xí)慣.筆者在此強(qiáng)烈呼吁：作為教師一定要給學(xué)生一些特別的指導(dǎo)，經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自己的解題活動(dòng)進(jìn)行自覺(jué)的反思與調(diào)控；作為學(xué)生必須重視、必須學(xué)會(huì)解題后的反思.

【參考文獻(xiàn)】

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